活用“1”的代换解题

2015-12-07 17:20邱芳忠
新课程·中学 2015年10期
关键词:纽带增函数化简

邱芳忠

“1”的作用在高中数学解题中不可小视,代换的得当,会给你的解题带来便捷,下面就以实例为据,来谈谈“1”到底能给解题带来多大的便捷?

一、“1”在比较两个实数的大小中的代换

例1.比较两个数( ) 与( ) 的大小.

解:首先考查函数y=( ) ,在x∈R上是减函数,∵- <0,

∴( ) >( ) =1.然后考察函数y=( ) ,在x∈R上是增函数,∵- <0,∴( ) <( ) =0.综上所述,( ) >( ) .

评注:比较两个既不同底数与又不同幂的指数大小,除了要用到指数函数的单调性,还要引进“1”作为中间量,以起到纽带作用.

例2.比较两个数log2.13与log3.12.9的大小.

解:首先考查函数y=log2.1x,在x∈R+上是增函数,∵3>2.1,

∴log2.13>log2.12.1=1.然后考查函数y=log3.1x,在x∈R+上是增函数,∵2.9<3.1,∴log3.12.9log3.12.9.

评注:比较两个既不同底又不同真数的对数的大小,除了要用到对数函数的单调性,还要引进“1”作为中间量,以起到纽带作用.

二、“1”在三角函数式化简与求值中的代换

例3.求 的值.

解:∵tan45°=1,∴ = =tan(45°-15°)=tan30°= .

评注:“1”代换tan45°后利用两角差的正切公式进行求值.

例4.已知 =-1,求sin2α+sinαcosα+2的值.

解:由已知得tanα= ,则

sin2α+sinαcosα+2=sin2α+sinαcosα+2(sin2α+cos2α)

= =

= =

评注:“1”代换后首先要进行弦化切,然后再代值.

三、“1”在证明不等式中的代换

例5.已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1求证: + + ≥9.

证明:∵a,b,c∈R+,且a+b+c=1,

∴ + + = + +

=3+ + + + + +

=3+( + )+( + )+( + )≥3+2+2+2=9.

当且仅当a=b=c时,等号成立.

评注:解答本题可以先使用“1”的代换,再转化使用重要不等式来证明.

四、“1”在求函数最值中的代换

例6.已知x>0,y>0,且 + =1求x+y的最小值.

解:∵x>0,y>0,且 + =1,

∴x+y=( + )(x+y)= + +10≥6+10=16.

当且仅当 = ,又 + =1,即x=4,y=12时,上式等号成立.

故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.

评注:解答本题可灵活使用“1”的代换,再用基本不等式求得和的最小值.

编辑 鲁翠红

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