血吸虫病在两类易感群体中传播的稳定性分析

齐龙兴，薛 梦，甘莉娟，Sakhone Sysavathdy

（安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥230601）

血吸虫病是一种人和动物都能传染的寄生虫病，是国家乙类传染病.不管是在我国还是在其他国家，血吸虫病都严重危害着人类的健康.至2009年底，全国估计血吸虫病人365 770例，新发生急性血吸虫病77例，全年共救治晚期血吸虫病人24 282例［1］，超过82%被感染的人生活在湖泊和沼泽地地区［2］.

随着社会的发展，越来越多的农村人口迁入城市，在2005年的全国人口普查抽样调查中，61.3%的人口来自农村，84.4%是从农村迁入城市的.在迁移人群中，大约有3 000万人从血吸虫病流行地区搬到城市，在迁移期间，可能携带的寄生虫感染迁入人群或者当地人群［2］.针对血吸虫病传播的数学模型的研究工作已经有很多［3－9］.虽然在文献［4］中作者研究了移动群体对血吸虫病传播的影响，但这些模型中都没有将易感人群进行分类.

论文针对这种情况，通过建立数学模型对血吸虫病在迁入人群和当地人群中的传播进行了简单的分析.

1 模型的建立及稳定性分析

根据血吸虫病传播的实际情况，将易感者划分为移入者S1，当地居民S2，患病者为I，总人数N＝S1＋S2＋I.各易感群体有不同的输入，写成μS°i，i＝1，2；μ为自然死亡率；γ为病人的移出率系数；αi反映了群体Si中成员的易感程度.由于移入人群感染血吸虫病的几率更大一些［2］，所以，假设α1＞α2.一个患者对易感类Si的有效接触率为αiβ，i＝1，2.基于文献［10］中的数学模型，采用双线性发生率，相应的模型为

令

其中：αiβ表示一个患病者对易感类Si的有效接触率；表示一个患病者接触S1类易感者中的输入者后所感染的人数表示一个患病者接触S2类易感者中的输入者后感染的人数是平均患病期.

1.1 地方病平衡点E＊ （，，I＊ ）的存在性

由

得

当R◦＞1时，c＞0.一元二次方程aI2＋bI＋c＝0的图可能是图1、2两种情况.

由图1、2知，无论方程aI2＋bI＋c＝0的对称轴在I轴的左边还是右边，图像与I轴的正半轴都有一个交点，也就是说方程只有唯一的正根，记为I＊.

当R◦＜1时，有

令则

由图3知方程无正根，也就是当R◦＜1时不存在地方病平衡点.

1.2 平衡点的局部稳定性

即方程的3个根分别为λ1＝－μ，λ2＝－μ，λ3＝

下面讨论当R◦＞1时地方病平衡点的局部稳定性.的特征方程为

即λ3＋a0λ2＋a1λ＋a2＝0，其中

下面利用两种方法来讨论方程λ3＋a0λ2＋a1λ＋a2＝0根的情况.

方法一 根据根和系数的关系，有

由（2）～（4）知，λ1，λ2，λ33个根中或者有1个小于零，或者3个都小于零.

若λ1，λ2，λ3都小于零，则地方病平衡点局部渐近稳定.

若λ1，λ2，λ3中只有1个小于零，不失一般性，假设λ1＜0，则由（2）知即－λ1＞，从而由此得这与λ1λ3＝a2＞0矛盾，所以，λ1，λ2，λ3都小于零.

方法二 显然a0＞0，a1＞0，a2＞0，计算

由Hurwitz判别定理知，特征方程的根全都具有负实部，因此地方病平衡点E＊（S1＊，S2＊，I＊）局部渐近稳定［12］.

2 数值模拟

3 结束语

论文考虑迁入人群和当地人群对血吸虫病传播的不同影响，建立了采用双线性发生率的数学模型，讨论了血吸虫病在两类易感群体中的传播情况，并运用Hurwitz判别定理对平衡点的局部稳定性进行了分析.当时，无病平衡点局部渐近稳定，这说明血吸虫病不会流行；当时，除了无病平衡点外还有地方病平衡点，而无病平衡点不稳定，地方病平衡点局部渐近稳定，这说明血吸虫病流行而导致了地方病的产生.从基本再生数的公式上可以看出，两类易感人群的初始值对血吸虫病的流行具有一定的影响.下面运用弹性公式来比较哪类人群的影响更大.容易算出

从而，有

由实际意义知α1＞α2，一旦迁入人群的个数大于当地初始人数，那么迁入人群对当地血吸虫病流行的阈值影响很大.因此，控制好迁入人群的数量可能是有效控制当地血吸虫病流行的一个必要措施.

［1］郝阳，郑浩，朱蓉，等.2009年全国血吸虫病疫情通报［J］.中国血吸虫病防治杂志，2010，22（6）：1－11.

［2］Cao C L，Bao Z P，Li S Z，et al.Schistosomiasis in a migrating population in the lake region of China and its potential impact on control operation［J］.Acta Trop，2015，145（1）：88－92.

［3］Feng Z，Curtis J，Minchella D J.The influence of drug treatment on the maintenance of schistosome genetic diversity［J］.J Math Biol，2001，43：52－68.

［4］Feng Z L，Li C C，Milner F A.Schistosomiasis models with two migrating human groups［J］.Math Comput Model，2005，41（2）：1213－1230.

［5］Qi L X，Cui J A，Gao Y，et al.Modeling the schistosomiasis on the islets in nNanjing［J］.Int J Biomath，2012（5）：371－717.

［6］王爱丽.具有多种传播方式的介水传染病模型的稳定性［J］.安徽大学学报：自然科学版，2015，39（4）：17－23.

［7］Allen E J，Victory H D.Modeling and simulation of a schistosomiasis infection with biological control［J］.Acta Trop，2003，87（1）：251－267.

［8］Zhang J，Ma Z E.Global stability of SEIR model with saturating contact rate［J］.Math Biosci，2003（185）：15－32.

［9］Zhou X N，Guo J G，Wu X H，et al.Epedemiology of schistosomiasis in the People’s Republic of China［J］.Emerg Infect Dis，2004，13（1）：1470－1476.

［10］马知恩.传染病动力学的数学建模与研究［M］.北京：科学出版社，2004.

［11］马知恩，周义仓.常微分方程的定性与稳定性方法［M］.北京：科学出版社，2001.

［12］王高雄.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2006.