一种1∞型幂指函数极限简便解法的讨论

陈帆 王安平

摘要：根据幂指函数极限的一般求法，推导得出了1∞型幂指函数极限的一种简便解法，并对所得到的结论结合无穷小的比较进行了讨论和推广.

关键词：幂指函数;极限;无穷小的比较

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）18-0175-02

一、引言

幂指函数的极限是在高等数学中经常出现的一类极限，同时，由于其解法的特殊性与抽象性成为不少学生不易理解的难点.下面在一般幂指函数解法的基础上我将给出一个更为简便的结论，并结合无穷小的比较给出一种直接判断幂指函数极限的方法.

一般地，在同一极限过程中当f（x）→1、g（x）→∞时，我们称极限lim f（x） 为1 型幂指函数的极限.对于此类极限我们有两种常见解法：其一利用重要极限 1+  =e的结论，将幂指函数变形成上述形式，进而得出极限;其二利用形如 f（x） =e 的公式，将极限式变化到指数中去，再利用罗比达法则求极限.上述两种方法在计算过程中都比较复杂，且方法一还具有一定的局限性.

二、主要结论及应用

若对于 f（x） ，在某极限过程中（x→x ，x→∞）有f（x）→1、g（x）→∞时，我们令f（x）=1+u（x），g（x）= ，显然u（x），v（x）是在同一极限过程中的无穷小，则我们可得如下结论：

定理1：若在同一极限过程中limu（x）=0、limv（x）=0，则lim1+u（x） =e

证明：lim1+u（x） =lime =e =e

利用上述定理对于一些比较复杂的幂指函数的极限就可以通过计算lim （ 型），进而快速地给出极限值，如下例.

例1：求极限   .

解：令？摇u（x）= -1= ，v（x）=1-x

则  =  =1 故？摇   =e

例2：求极限 （ ） ，其中a ，a ，...a 均为正数.

解：令？摇u（x）= -1，v（x）=x

则？摇  =  ·

=  （a  lna +a  lna +…+a  lna ）

=

故？摇 （ ） =e =

三、推广

利用定理1的结论，结合无穷小的比较，则可以直接判定lim1+u（x） 的极限值，我们得到如下推论：

推论1：在定理1的条件下，若u（x）为v（x）的高阶无穷小（即lim =0），则lim1+u（x） =1

推论2：在定理1的条件下，若u（x）为v（x）的同阶无穷小（即lim =c≠0），则lim1+u（x） =e

推论3：在定理1的条件下，若u（x）为v（x）的等价无穷小（即lim =1），则lim1+u（x） =e

推论4：在定理1的条件下，若u（x）为v（x）的低阶无穷小，有如下讨论：

（1）若lim =-∞，则lim1+u（x） =0.

（2）若lim =+∞，则lim1+u（x） =+∞.

（3）若lim =∞，則lim1+u（x） 不存在.

利用以上推论就可以在减少计算量的情况下直接得出1 型幂指函数的极限值，比如对于极限 1+x e  ，由于  =2，由推论2可知 1+x e  =e ，又对于极限 1+  ，由于  =0，由推论1可知 1+  =1，而 1+  ，由于  =∞，由推论4可知 1+  不存在，但对于 1+  ，由于  =-∞，同样由推论4可知 1+  =0.由此可见1 型幂指函数的极限的存在与否，可以由两个无穷小量u（x）与v（x）之比的阶数所确定.

参考文献：

[1]王林芳.求型未定式极限的一种简便方法[J].高等数学研究，2005，（9）.

[2]曾亮.关于两类幂指函数求解的几个重要结论[J].高师理科学刊，2010，（11）.

[3]同济大学数学教研室主编.高等数学（上册）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2005.