《三角函数》中的易错题剖析

三角函数是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的热点之一.由于三角函数的知识具有：（1）公式繁多；（2）性质独特（定义域、有界性、单调性、周期性等）；（3）变化灵活；（4）渗透性强等特点，使解决三角函数问题较其他的代数问题更趋于隐蔽，解题的过程有更多陷阱，解题的思维更需慎密.因此，解题时稍有不慎，便往往会出现增解、漏解，甚至错解的现象.本文结合具体实例剖析解决三角函数问题时常见的错误情况，供同学们参考.

易错点一：忽视三角函数的定义域而致错

例1 判断函数f（x）=1+sinx-cosx1+sinx+cosx的奇偶性.

错解：∵f（x）=2sinx2（sinx2+cosx2）2cosx2（sinx2+cosx2）=tanx2，∴f（-x）=tan（-x2）=-tanx2=-f（x），

∴f（x）是奇函数.

错因剖析：研究函数，首先考虑函数的“定义域”，即要使该函数有意义，则分母必须不为0，从而1+sinx+cosx=1+2sin（x+π4）≠0，即sin（x+π4）≠-22，得：π4+x≠2kπ+54π且π4+x≠2kπ+74π（k∈Z），故x≠2kπ+π且x≠2kπ+32π（k∈Z），而函数f（x）=tanx2的定义域却是{x|x≠2kπ+π，k∈Z}，显然这两个函数不是同一个函数.究其原因，当约去因式sinx2+cosx2时，使原函数不关于原点对称的定义域扩大为关于原点对称的定义域.因此，原函数应是非奇非偶函数.

易错点二：忽视三角函数的有界性而致错

例2 若cosαcosβ=12，求sinαsinβ的取值范围.

错解：设sinαsinβ=t，则cosαcosβ+sinαsinβ=t+12，即cos（α-β）=t+12，又因为cos（α-β）∈[-1，1]，所以有-1≤t+12≤1，解得：-32≤t≤12，

所以sinαsinβ的取值范围为[-32，12].

错因剖析：若cosαcosβ+sinαsinβ=t+12，则也有cosαcosβ-sinαsinβ=12-t，

所以应该得到cos（α-β）=t+12，cos（α+β）=12-t都成立.由cos（α-β）∈[-1，1]，

cos（α+β）∈[-1，1]，可以得到-12≤t≤12，即sinαsinβ的取值范围为[-12，12].

易错点三：忽视三角函数的单调性而致错

例3 已知α，β∈（0，π2），且cosα=55，cosβ=1010，求α+β的值.

错解：∵α，β∈（0，π2），且cosα=55，cosβ=1010，故sinα=255，sinβ=31010，

又∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=255×1010+55×31010=22.

由α，β∈（0，π2）知α+β∈（0，π），所以α+β=π4或α+β=3π4.

错因剖析：由于正弦值为22的角在（0，π）上不唯一，才造成两解.正确的解法是取余弦，因为余弦函数在（0，π）上是单调递减的，这样才不会扩大解集.∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=55×1010-255×31010=-22.由α+β∈（0，π），且余弦函数在（0，π）上是单调递减，所以α+β=3π4.

易错点四：忽视条件等式对三角函数的角或值的制约而致错

例4 设θ是第二象限角，且cosθ2-sinθ2=13，求cosθ2+sinθ2的值.

错解：∵θ是第二象限角，∴2kπ+π2<θ<2kπ+π（k∈Z）∴kπ+π4<θ2

错因剖析1：有些同学认为θ是第二象限角，则θ2必为第一象限角，从而未讨论θ2在第三象限时的情况.又cosθ2-sinθ2=13>0，∴cosθ2>sinθ2，∴2kπ+54π<θ2<2kπ+32π（k∈Z），

∴cosθ2<0，sinθ2<0，将cosθ2-sinθ2=13平方得：1-2sinθ2cosθ2=19，

∴2sinθ2cosθ2=89，

∴（cosθ2+sinθ2）2=1+2sinθ2cosθ2=179，∴cosθ2+sinθ2=-173.

错因剖析2：如果在前面误认为θ2只能为第一象限角，则就会得出cosθ2+sinθ2=173的错误，如果得2kπ+π4<θ2<2kπ+π2或2kπ+54π<θ2<2kπ+32π（k∈Z），而不从三角函数等式中推出隐含条件cosθ2<0，sinθ2<0，则会导致产生cosθ2+sinθ2=±173的错误.

易错点五：忽视三角形中边角的关系而致错

例5 在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，且sinC=513，求cosA的值.

错解：由A，B，C成等差数列及三角形内角和定理知：2B=A+C，A+B+C=π，

∴B=π3，A=23π-C，又∵sinC=513，

∴cosC=±1-sin2C=±1213，

∵cosA=cos（23π-C）=cos23πcosC+sin23πsinC=-12cosC+32sinC，

∴当cosC=1213时，cosA=53-1226；

当cosC=-1213时，cosA=53+1226.

错因剖析：cosC能否正负都取呢？因为A，B，C是三角形中的三个内角，故A+B+C=π.因此，这三个角之间有着相互制约的关系，应对给出的固定的正弦值的角C的范围加以挖掘，从而决定cosC的正、负号的取舍.∵0

评析：与三角形有关的三角问题，必须注意三角形中的边角等量关系、边角的不等关系及角的取值范围等隐含条件，避免出现增解.

易错点六：忽视换元前后变量范围的区别而致错

例6 求函数y=sinxcosx+sinx-cosx（x∈R）的值域.

错解：令sinx-cosx=t，则由（sinx-cosx）2=1-2sinxcosx=t2，得：sinxcosx=1-t22，所以y=1-t22+t=-12（t-1）2+1，因为t∈R，所以y∈（-∞，1].

错因剖析：上述错解在于忽略了t的正确范围.因sinx-cosx=t=2sin（x-π4）∈[-2，2]，

所以当t=-2时，ymin=-2-12；当t=1时，ymax=1.

故函数y=sinxcosx+sinx-cosx的值域为[-2-12，1].

易错点七：忽视由给定三角函数值缩小相关角的范围而致错

例7 已知tan（α-β）=12，tanβ=-17，且α，β∈（0，π），求2α-β的值.

错解：tan2（α-β）=2tan（α-β）1-tan2（α-β）=11-14=43，又2α-β=2（α-β）+β，所以

tan（2α-β）=tan2（α-β）+tanβ1-tan2（α-β）tanβ=43-171+43×17=1.由α，β∈（0，π），得2α-β∈（-π，2π），

所以2α-β=-34π或π4或5π4.

错因剖析：这是同学们解答时常见的典型错误，实际上，由tanβ=-17>-33，可得β∈（56π，π），又由tanα=tan[（α-β）+β]=13<33，可得α∈（0，π6），忽视了这个隐含条件，才会出现上面解答中2α-β的过大范围.只有通过题给条件，把角的范围缩小到尽可能小的范围，才能使角的功能突出，从而避免错误.由α∈（0，π6）且β∈（56π，π），得2α-β∈（-π，-π2），故2α-β=-34π.

易错点八：忽视变形式子对变量范围的制约而致错

例8 已知sin2x和sinx分别是sinθ和cosθ的等差中项与等比中项，求cos2x的值.

错解：由题设得sin2x=sinθ+cosθ2（1）sin2x=sinθcosθ（2），

将（1）平方，得：sin22x=1+2sinθcosθ4

=1+2sin2x4，

∴4sin22x=1+2sin2x4（1-cos22x）=1+（1-cos2x），

即4cos22x-cos2x-2=0，解得cos2x=1+338或cos2x=1-338.

错因剖析：从计算过程来看感觉推理合理，条理清晰，结论也正确，因为-1<1±338<1，容易让人误认为两个结论都正确.实际上在题设（1）和（2）中，都隐含了角θ和x的范围.

∵（1），（2）可写为sin2x=22sin（π4+θ）sin2x=12sin2θ，

∴sin2θ=2sin2x≥0，

∴2kπ≤2θ≤2kπ+π（k∈Z），即kπ≤θ≤kπ+π2（k∈Z），故kπ+π4≤θ+π4≤kπ+34π（k∈Z），由正弦函数的图象可得22≤|sin（θ+π4）|≤1，即12≤|sin2x|≤22，∴22≤cos22x≤34，

∴22≤|cos2x|≤32，故cos2x=1-338不符合条件，即cos2x=1+338.

易错点九：忽视题设条件而致错

例9 已知锐角△ABC中，sin（A+B）=35，sin（A-B）=15.

（1）求证：tanA=2tanB；

（2）设AB=3，求AB边上的高.

错解：（1）略，（2）由（1）易得：cosAsinB=15，作AB边上的高CD，设CD=h，则有

tanA=hAD，tanB=hBD，所以AC=1+h2，

BC=4+h2，即cosA=11+h2，

sinB=h4+h2，代入cosAsinB=15，得h4-20h2+4=0，解得：h2=10±46，即h=6±2.

错因剖析：错解中未注意到题设条件中的锐角△ABC，实际上，当h=6-2时，tanA=h=6-2<1，则A<π4，又Bπ2，这与题设条件中的锐角△ABC矛盾，故舍去，即h=6+2.

上面我们揭示了三角函数中常见可能出错的情况，在实际解题时，这些方法既可以单独运用，也可以结合在一起综合运用，只有这样，才能收到良好的效果.培养同学们挖掘隐含条件的能力，对加深理解知识，提高解题能力，培养思维有积极意义.

（作者：丁称兴，江苏省溧水高级中学）