函数y=lnxx的单调性及其应用

1 函数y=lnxx的单调性及其相应的结论

用导数可证得：

定理1 （1）函数y=lnxx在（0，e]，[e，+∞）上分别是增函数、减函数（其图象如图1所示）.

图1

（2）①当0

②当e≤aba；

③当0

④当1e时，abba均有可能.

2 定理1的应用

2.1 推广2014年高考湖北卷文科压轴题的结论

高考题1 （2014年高考湖北卷第22题）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数.

（1）求函数f（x）=lnxx的单调区间；

（2）（文）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；

（理）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

下面给出这道高考题的解法.

解 （1）增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）.

（2）（文）由（1）的结论还可证得结论：当e≤aba.

由此结论，得e3>3e，eπ>πe，3π>π3.

又由幂函数、指数函数的单调性，得3π>eπ>e3，π3>πe>3e.

所以所求最大数与最小数分别是3π，3e.

（由此解法还可得结论：若e≤a

（理）由（1）的结论可得lnxx<1e（0

lnπ>2-eπ， （*）

3lnπ>6-3eπ>6-e>π，

π3>eπ，

由式（*），还可得

elnπ>e2-eπ>2.72-2.723.1>

2.7（2-0.88）=3.024>3，

πe>e3.

再由（文）的解法可得，3π>π3>eπ>πe>e3>3e.

定理2 （1）若0

（2）若e≤a1

证明 对n用数学归纳法来证.

（1）①由定理1（2）②知，n=2时成立.

②假设n=k（k≥2）时成立：

若0

若0

Ak+1=Ak∪{a1ak+1，a2ak+1，…，akak+1，ak+1a1，ak+1a2，…，ak+1ak}

又因为

max{a1ak+1，a2ak+1，…，akak+1}=akak+1，

max{ak+1a1，ak+1a2，…，ak+1ak}=ak+1ak，

所以

maxAk+1=max{maxAk，max{a1ak+1，a2ak+1，…，akak+1}，max{ak+1a1，ak+1a2，…，ak+1ak}}

=max{akak-1，akak+1，ak+1ak}=ak+1ak（因为由定理1（2）②可得ak+1ak>akak+1>akak-1）.

又因为

min{a1ak+1，a2ak+1，…，akak+1}=a1ak+1，min{ak+1a1，ak+1a2，…，ak+1ak}=ak+1a1，

所以

minAk+1=min{minAk，min{a1ak+1，a2ak+1，…，akak+1}，min{ak+1a1，ak+1a2，…，ak+1ak}}

=max{a1a2，a1ak+1，ak+1a1}=a1a2（因为由定理1（2）②可得a1a2

得n=k+1时也成立.

所以欲证结论成立.

（2）同（1）可证.

猜想 （1）若0

maxG=a3a2a1，minAn=a1a2a3；

（2）若e≤a1

maxG=a1a2a3，minG=a3a2a1.

例1 设G={aba，b∈{2，e，3，π，4}}，求maxG，minG.

解 由定理2（2），可得max{aba，b∈{e，3，π，4}}=π4，min{aba，b∈{e，3，π，4}}=3e.

由指数函数y=2x是增函数，可得max{2bb∈{e，3，π，4}}=24，min{2bb∈{e，3，π，4}}=2e.

由幂函数y=x2（x>0）是增函数，可得max{a2a∈{e，3，π，4}}=42=24，min{a2a∈{e，3，π，4}}=e2.

所以

maxG=max{{aba，b∈{e，3，π，4}}，

{2bb∈{e，3，π，4}}，

{a2a∈{e，3，π，4}}}=max{π4，24，42}=π4.

minG=min{{aba，b∈{e，3，π，4}}，

{2bb∈{e，3，π，4}}，{a2a∈{e，3，π，4}}}=

min{3e，2e，e2}=2e

（因为由定理1（2）②可得2e

2.2

研究另3道高考题

高考题2 （2005年高考全国卷Ⅲ理科第6题）若a=ln22，b=ln33，c=ln55，则（ ）.

A.a

由定理1（1）、图2及ln22=ln44，可得选C.

图2

例2 设a=1e，b=ln2，c=lnππ，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系为（ ）.

A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.b>a>c

原解 因为a=1e=lnee，b=ln2=ln22，且2b，a>c.

又b-c=ln22-lnππ=πln2-2lnπ2π=ln2π-lnπ22π<0，所以b

因此，a>b>c，A正确.

订正笔误 原解的最后一行有误，应订正为“因此，a>c>b，C正确”.

质疑 原解中的“ln2π-lnπ22π<0”即“2π<π2”是怎么来的？

简解 由定理1（1）及ln22=ln44，可得选C.

注 在本题中，由c>b，还可得2π<π2.

高考题3 （2001年高考全国卷理科第20题）已知i，m，n是正整数，且1

（1）证明niAim

（2）证明（1+m）n>（1+n）m.

证明 （1）略.

（2）即证nln（1+m）>mln（1+n），ln（1+m）m>ln（1+n）n.

设f（x）=ln（1+x）x（x≥2），得f′（x）=x1+x-ln（1+x）x2（x≥2）.

由x≥2，得x1+x<1f（n），即欲证成立.

注 用同样的方法（但还须对由f′（x）的分子得到的函数y=x1+x-ln（1+x）（x>0）再求导）还可证得：若0（1+n）m.

高考题4 （1983年高考全国卷理科第9题）（1）已知a，b为实数，并且eba；

（2）如果正实数a，b满足ab=ba，且a<1，证明a=b.

证明 （1）由推论立得.

（2）由正实数a，b满足ab=ba，得blna=alnb.再由0

再由反证法及定理1（2）②可得欲证结论成立.

2.3

关于x的方程ax=bxα（a>0，b≠0，α≠0，α∈Z）根的个数

下面再用定理1来讨论关于x的方程

ax=bxα（a>0，b≠0，α≠0，α∈Z） （*）

根的个数.

定理3 （1）若b>0，α为奇数，则

（ⅰ）当且仅当eαb-1αlna>α2时，方程（*）根的个数是0；

（ⅱ）当且仅当b=elnaαα或αlna≤0时，方程（*）根的个数是1；

（ⅲ）当且仅当[JB（{]αlna>0，

eαb-1αlna<α2时，方程（*）根的个数是2.

（2）若b<0，α为奇数，则

（ⅰ）当且仅当eαb-1αlna>α2时，方程（*）根的个数是0；

（ⅱ）当且仅当b=elnaαα或a=1时，方程（*）根的个数是1；

（ⅲ）当且仅当[JB（{]αlna<0，

eαb-1αlna<α2，时，方程（*）根的个数是2.

（3）若b>0，α为非零偶数，则

（ⅰ）当且仅当b1α

（ⅱ）当且仅当b1α=elnaα或a=1时，方程（*）根的个数是2；

（ⅲ）当且仅当[JB（{]a≠1，

b1α>elnaα，时，方程（*）根的个数是3.

（4）若b<0，α为非零偶数，则方程（*）根的个数是0.

证明 （1）易知方程（*）的根x>0.

可设d=b1α，c=ab-1[]α，t=b1αx，可得d，c，t均是正数.

还可得关于x的方程（*）根的个数即关于t的方程

ct=tα（c>0，α是奇数；t>0）

也即

lntt=lncα（c>0，α是奇数）

根的个数.

由定理1（1）及图1，可得

（ⅰ）当且仅当lncα>1e即eαb-1αlna>α2时，方程（*）根的个数是0；

（ⅱ）当且仅当lncα≤0或lncα=1e即b=elnaαα或αlna≤0时，方程（*）根的个数是1；

（ⅲ）当且仅当00，

eαb-1αlna<α2，时，方程（*）根的个数是2.

（2）易知方程（*）的根x<0.

可设x′=-x，得x′>0.

还可得关于x的方程（*）根的个数即关于x′的方程

1ax′=-bx′α（1a>0，-b>0，α是奇数）

根的个数.

再由结论（1）可得结论（2）成立.

（3）易知方程（*）的根x≠0.

可设d=b1α，c=ab-1α，t=b1αx，可得d，c均是正数，t≠0.

还可得关于x的方程（*）根的个数即关于t的方程

ct=tα（c>0，α是非零偶数；t≠0）

也即

lntt=lncα（c>0，α是非零偶数）

根的个数.

由定理1可作出函数y=lntt的图象如图3所示：

图3

由图3可得

（ⅰ）当且仅当lncα>1e即b1α

（ⅱ）当且仅当lncα=1e或0即b1α=elnaα或a=1时，方程（*）根的个数是2；

（ⅲ）当且仅当0

b1α>elnaα，时，方程（*）根的个数是3.

（4）显然成立.

读者还可讨论关于x的方程

ax=bxα（a>0，b≠0，α≠0，α∈R）

根的个数（可参考上面的研究方法和文献[1]）.

参考文献

[1]甘志国.幂、指函数图象交点个数的完整结论[J].中学数学月刊，2008（9）：30-32.