谈面积法在解题中的妙用

胥仰爱

【关键词】 数学教学;面积法;解题

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004—0463（2015）21—0122—01

面积法在中学数学教学中非常重要，因此，掌握面积法解题的技巧是十分必要的.所谓面积法，通俗地讲就是在考虑问题时以面积为出发点，运用面积的基本性质和等积变换，解一些不直接涉及面积的问题.下面，笔者略举几例说明用面积法解题的基本技巧.

技巧一  利用面积相等的性质解题

例1  求证：三条高相等的三角形一定是等边三角形.

证明：设△ABC的三条高分别为ha、hb、hc，如右图，则

S△ABC=aha=bhb=chc，

∵ha=hb=hc，∴a=b=c，

∴△ABC是等边三角形.

此例题设为三角形的三条高，所证结论为三边相等，易联想到三角形的面积与底边及高的关系.虽然简单，但其解法充分体现了面积法的一个基本技巧，即用两种或两种以上的方法表示同一图形的面积，进而通过面积等式找出所求量之间的关系.

例2 三角形两条高线的长分别为12和20，说明第三条高线的长小于30.

解：设△ABC的三边分别为a、b、c，对应高为ha、hb、hc，三角形的面积为S△ABC，

则S△ABC=aha=bhb=chc，即S△ABC=6a=10b=chc，

∴a=，b=，c=，

∵a-b

技巧二  利用面积可比的性质解题

由三角形面积公式容易推知：①等底等高的两三角形面积相等;②等底（或等高）的两三角形面积的比等于其高（或底）的比.据此当题目中存在等底或等高的三角形时，将其面积的比与线段的比联系起来，可收到事半功倍之效.

例3  如右图，AD是△ABC的角平分线，求证：=.

证明：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点A作AH⊥BC于H，

由DE=DF，则有==，即=.

本例常规证法是作AD的平行线利用比例线段来证明，但注意到△ABD与△ACD是等高的两个三角形，从而利用这两个三角形面积的不同表现形式，将所证线段的比联系起来即可得证.

例4  点P是△ABC内的任一点，直线AP、BP、CP分别交对边于点D、E、F，

试证：AP∶PD，BP∶PE，CP∶PF三者之中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2.

证明：如右图，作AN⊥BC于N，作PM⊥BC于M，易证 ==，

同理：=，=，

∴++ ==1

易知，，中至少有一个不大于，不妨设 ≤，

则≤，从而有≥2.同理可证：三个比中至少有一个不大于2.

本例从表面看，要证的三个比值没有什么直接联系，但观察图中有许多等底、等高的三角形，这样便可联想到把所证线段的比表示为三角形面积的比，以此使问题得到解决.

技巧三  利用面积的可拆分性解题

利用面积自身相等的性质表示同一图形的面积不仅表现为选取不同的边作为底来计算面积，它在更多的情况下是拆分同一图形为几个图形来计算，这往往更为有效.

例5  如右图，从△ABC的各顶点作AD∥BE∥CF，分别与对边或延长线交于D、E、F.

求证：S△DEF=2S△ABC.

分析：从图形观察，△DEF可分为三部分，分别是△ADE、△ADF、△AEF，其中△ADE与△ADB、△ADF与△ADC同底等高，所以只要证出△AEF与△ABC的面积相等即可.

证明：∵AD∥BE∥CF，

∴S△ADB=S△ADE， S△ADC=S△ADF，

∴S△ABC=S△ADE +S△ADF，

又∵S△CEF=S△CBF，

∴S△ABC =S△AEF，

∴S△AEF+ S△ADE +S△ADF=2 S△ABC，即S△DEF=2 S△ABC.

编辑：谢颖丽