空间几何体的表面积与体积的变式探索

付耀斌

解空间几何体的表面积、体积问题的常用方法：

（1） 分割法：一个几何体的体积等于它的各部分体积之和。（2） 补体法：与分割法一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等。对于台体，有时可补成锥体来研究体积，“补台成锥”是常见的解决台体侧面积与体积的方法。（3） 等积变换法：①同一个几何体可以用不同的面做底。②等底等高的两个同类几何体的体积相等。（4） 计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，要根据条件找出相应的底面和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解。

解法提炼：本题就是根据变换底面和高来证明相关的等量关系的。在三棱锥中，用换底面（同时也换高）的方法，常常能把复杂问题简单化、直观化。

解法提炼：本题运用分割法，将四棱锥的体积分割成两个全等的三棱锥体积之和，从而使问题获解。