空间几何体知识点解读及考点分析

2015-11-26 03:01陈昕李伟玉
中学生数理化·高一版 2015年10期
关键词:直观图棱锥三棱锥

陈昕+李伟玉

一、知识点解读

1.熟练掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征,熟练掌握圆柱、圆锥、圆台以及球的结构特征。

2.空间几何体的三视图画法要求:正视图(从前向后看)、俯视图(从上往下看)、侧视图(从左往右看,也叫左视图);正视图和侧视图的高度一样,俯视图和正视图的长度一样,俯视图与侧视图的宽度一样。即正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽。

3.空间几何体的直观图常用斜二测画法,其基本步骤是:(1)画几何体的底面。(2)画几何体的高。

4.熟练掌握柱、锥、台和球的侧面积与体积公式的应用。

5.球的组合体常见结论及解法。(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长。(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长。(3)球与正四面体的组合体:棱长为“的正四面体的内切球的半径为√6/12a,外接球的半径为√6/4a。

二、考点分析

考点l:空间几何体的结构特征

例1 下列四个命题:①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;②底面是矩形的平行六面体是长方体;③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形;④棱台的相对侧棱延长后必交于一点;⑤直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥。其中真命题的序号是

解:对于命题①,显然符合平行六面体的定义,①是正确的。

对于命题②,底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,②是错误的。

对于命题③,如图1,PD⊥平面ABCD,其中底面ABCD为矩形,容易证明∠PAB,∠PCB为直角,这样四个侧面都是直角三角形。

由棱台的定义知,命题④是正确的。

当以斜边为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,⑤是错误的。

答案为①③④。

跟踪训练1:下列结论正确的是()。

A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C.棱锥的侧棱与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥

D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

提示:显然选项A、B、C错误。应选D。

考点2:空间几何体的三视图

例2 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图2所示,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是有一条直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能是()。

解:当正视图为等腰三角形时,则高应为2,且高应为虚线,排除A,D。当正视图是直角三角形时,Ff1条件得一个直观图如图3所示,中间的线段是看不见的线段PA形成的投影,应为虚线。应选B。

跟踪训练2:一几何体的直观图如图4所示,下列给出的四个俯视图中正确的是()。

提示:由直观图可知,该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成。从上往下看,外层轮廓线是一个矩形,矩形内部有一条线段连接的两个三角形。应选B。

考点3:空间几何体的直观图

例3 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为图5所示的一个正方形,则原来的图形是()。

解:由直观图可知,在直观图中多边形为正方形,对角线长为√2,所以原图形为平行四边形且位于y轴上的对角线长为2√2。应选A。

跟踪训练3:用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图6所示,边AB平行于y轴,BC、AD平行于z轴。已知四边形ABCD的面积为2√2 cm2,则原平面图形的面积为()。

A. 4 cm2

B. 4√2 cm2

C. 8 cm2

D. 8√2 cm2

提示:依题意可知么BAD=45°,则原平面图形为直角梯形,上、下底的长与BC、AD相等,高为梯形ABCD的高的2√2倍,所以原平面图形的面积为8 cm2。应选C。

考点4:空间几何体的表面积

例4 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图7所示。若该几何体的表面积为l6+20π,则r=()。

考点5:空间几何体的体积

例5 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图8,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问:米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()。

A. 14斛

B. 22斛

C. 36斛

D. 66斛

考点6:与球有关的“切”“接”问题

例6 已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()。

A. 36π

B.64π

C. l44π

D. 256π

因为在点D由P到B的运动过程中,△ADE的两腰长先减小后增大,所以△ADE周长也会先减小后增大,可排除B、D,但不是直线变化,可排除A。应选C。endprint

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