空间几何体知识点解读及考点分析

陈昕+李伟玉

一、知识点解读

1.熟练掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征，熟练掌握圆柱、圆锥、圆台以及球的结构特征。

2.空间几何体的三视图画法要求：正视图（从前向后看）、俯视图（从上往下看）、侧视图（从左往右看，也叫左视图）；正视图和侧视图的高度一样，俯视图和正视图的长度一样，俯视图与侧视图的宽度一样。即正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽。

3.空间几何体的直观图常用斜二测画法，其基本步骤是：（1）画几何体的底面。（2）画几何体的高。

4.熟练掌握柱、锥、台和球的侧面积与体积公式的应用。

5.球的组合体常见结论及解法。（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长。（2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长。（3）球与正四面体的组合体：棱长为“的正四面体的内切球的半径为√6/12a，外接球的半径为√6/4a。

二、考点分析

考点l：空间几何体的结构特征

例1 下列四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点；⑤直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥。其中真命题的序号是

。

解：对于命题①，显然符合平行六面体的定义，①是正确的。

对于命题②，底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，②是错误的。

对于命题③，如图1，PD⊥平面ABCD，其中底面ABCD为矩形，容易证明∠PAB，∠PCB为直角，这样四个侧面都是直角三角形。

由棱台的定义知，命题④是正确的。

当以斜边为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，⑤是错误的。

答案为①③④。

跟踪训练1：下列结论正确的是（）。

A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C.棱锥的侧棱与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥

D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

提示：显然选项A、B、C错误。应选D。

考点2：空间几何体的三视图

例2 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图2所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能是（）。

解：当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且高应为虚线，排除A，D。当正视图是直角三角形时，Ff1条件得一个直观图如图3所示，中间的线段是看不见的线段PA形成的投影，应为虚线。应选B。

跟踪训练2：一几何体的直观图如图4所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）。

提示：由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成。从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形。应选B。

考点3：空间几何体的直观图

例3 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为图5所示的一个正方形，则原来的图形是（）。

解：由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为√2，所以原图形为平行四边形且位于y轴上的对角线长为2√2。应选A。

跟踪训练3：用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图6所示，边AB平行于y轴，BC、AD平行于z轴。已知四边形ABCD的面积为2√2 cm²，则原平面图形的面积为（）。

A. 4 cm²

B. 4√2 cm²

C. 8 cm²

D. 8√2 cm²

提示：依题意可知么BAD=45°，则原平面图形为直角梯形，上、下底的长与BC、AD相等，高为梯形ABCD的高的2√2倍，所以原平面图形的面积为8 cm²。应选C。

考点4：空间几何体的表面积

例4 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图7所示。若该几何体的表面积为l6+20π，则r=（）。

考点5：空间几何体的体积

例5 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图8，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问：米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）。

A. 14斛

B. 22斛

C. 36斛

D. 66斛

考点6：与球有关的“切”“接”问题

例6 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）。

A. 36π

B.64π

C. l44π

D. 256π

因为在点D由P到B的运动过程中，△ADE的两腰长先减小后增大，所以△ADE周长也会先减小后增大，可排除B、D，但不是直线变化，可排除A。应选C。endprint