基于短时分数阶傅里叶变换的瞬时频率估计误差分析

邓兵，栾俊宝，唐光胜

（1.海军航空工程学院电子信息工程系，山东烟台264001；2.海军航空工程学院研究生管理大队，山东烟台264001；3.91599部队，山东莱阳265200）

基于短时分数阶傅里叶变换的瞬时频率估计误差分析

邓兵1，栾俊宝2，唐光胜3

（1.海军航空工程学院电子信息工程系，山东烟台264001；2.海军航空工程学院研究生管理大队，山东烟台264001；3.91599部队，山东莱阳265200）

信号的瞬时频率估计作为雷达信号处理的一项重要内容，对于目标的检测和识别起着重要作用。利用短时分数阶傅里叶变换具有更好时频分辨力的特点，分析了利用短时分数阶傅里叶变换对三次相位非线性调频信号进行瞬时频率估计的精度与窗函数、窗长间的关系。结果表明：当采用高斯窗时能够获得最高估计精度，且最佳窗长L与时宽和带宽积σtσf和信号调频率变化率k满足通过仿真实验验证了结论。

信息处理技术；参数估计；短时分数阶傅里叶变换；瞬时频率；误差分析

0 引言

随着信号处理技术的日趋复杂，所研究信号的复杂程度也越来越高，对信号的瞬时频率估计作为雷达信号处理的一项重要内容，对于目标的检测和识别起着重要作用。非线性调频信号作为雷达信号的一种，由于其频率变化的复杂性，对于其瞬时频率的估计也较为复杂［1-4］。

传统的平稳分析方法，如傅里叶变换只局限于信号单一时域或者频域信息的研究，对于非平稳信号，当不同信号分量之间、信号与噪声之间存在较强耦合时，此类时频分析手段则达不到很好的效果，在此基础上，研究学者开始关注二维时频分布。当分段采用傅里叶变换进行分析时，则出现了短时傅里叶变换（STFT）的方法［5］。STFT属于线性变换，对于多分量的复杂信号在信号不重叠时几乎没有交叉项干扰，运算复杂度较低，因此广泛应用于工程领域［6］，但对于瞬时频率变化较大的信号，其能量聚集性较差，无法准确表现出信号的时频变化规律。Wigner-Ville分布（WVD）作为一种双线性变换，对于瞬时频率变化不大的信号具有很高的时频聚集性和良好的数学运算性质，也得到了专家学者的关注［7-8］。但其在多分量信号处理时存在交叉项干扰问题，并且运算复杂度较高。

分数阶傅里叶变换（FRFT）作为一种新兴的时频分析工具［9-10］，是傅里叶变换的一种广义形式。相比傅里叶变换，其增加了一个自由度，能够同时反映信号在时域和频域的信息，在匹配的FRFT阶次下，线性调频信号能够聚集为能量较高的冲击信号。利用FRFT的这一良好特性，在FRFT的基础上，通过对目标信号加入一个滑动的窗函数，即可得到短时分数阶傅里叶变换（STFRFT）［11-14］。这一方法将非线性调频信号截取成与窗长相等的小段信号，每一段信号则可以近似地看作线性调频信号。对每一段信号分别进行分析，可以得出信号分数域频率随时间的变换规律，这对于时变参数的估计具有很好的效果。

在使用STFRFT来进行非线性调频信号的瞬时频率估计时，窗函数及窗长的选择直接影响到估计的精度，本文重点分析了二者对瞬时频率估计精度的影响。

1 短时分数阶傅里叶变换

STFRFT的定义源于STFT。一个连续信号的STFT定义［10］为

式中:s（t）为待测信号；g（t）为窗函数；f为待测信号频率。

图1（a）所示为STFT对调频信号的时频分辨能力。STFT的分辨单元由多个平行于时间、频率的矩形框组成，从图1（a）中可以看出，STFT对于调频信号在时域、频域上的分辨能力并不是很高，其分辨单元并不能很好地拟合原信号的特点。如图1（b）所示，为了获得最佳的信号表示，将坐标轴旋转一定的角度形成新的（u，v）坐标系，此时线性调频信号在形成的新坐标系下能够获得很好的能量聚集，相应的分辨率也将会提高，为了获得这一新的坐标系，用到了FRFT。

图1 STFT与STFRFT对调频信号分辨能力对比Fig.1 Resolving ability comparison of STFRFT and STFRFT for FM signal

FRFT作为传统傅里叶变换的一种广义形式，实质上可以理解为对时-频平面进行二维旋转而形成分数阶傅里叶域的方法。一个连续信号s（t）的FRFT为

式中:α为变换角度；Kα（t，u）是FRFT核函数，

由上述理论对STFT进行推广可以得出信号s（t）的STFRFT定义［15］:

2 非线性调频信号瞬时频率估计误差

同STFT一样，STFRFT也是一种非常有效的时频分析工具。利用STFRFT除了能够实现对短时窗内的信号进行频率估计之外，还能够通过对变换阶次的二维搜索，对线性调频信号的调频率进行估计。根据这一特点，可以用其实现对非线性调频信号的瞬时频率估计。

如图2所示，对于一个非线性调频信号在经过STFRFT时，如果窗函数及窗长的选择足够合理，可以认为其在短时窗内是近似线性调频信号，那么利用FRFT在线性调频信号处理上的诸多优势［16］，就可以实现对非线性调频信号的瞬时频率估计。

图2 STFRFT对非线性调频信号的瞬时频率估计Fig.2 Instantaneous frequency estimation of non-LFM signal through STFRFT

工程应用中，3次相位信号是一类常见的非线性调频信号，因此，本文主要对3次相位信号的瞬时频率估计进行研究，以下所讨论的误差均为绝对误差。

设3次相位信号为

式中:f0为信号初始频率；μ为2次相位项系数，即调频率；k为3次相位项系数，即调频变化率。其时频关系表达式为f=f0+μt+kt2，以STFRFT对信号作瞬时频率估计，短时窗内的瞬时频率估计表达式为为初始频率f0的估计值，为调频率的估计值，相应的瞬时频率估计误差为

在信号时长T内，其误差可用E来表示。

Δf的最大取值等于频率分辨率大小，则（7）式中ΔfL可用时宽和带宽积σtσf来表示，即

对E进行求导可得

令（9）式等于0，化简后可得到

此时瞬时频率估计误差E取得最小值。从（10）式可以得知，最佳窗长L的取值与k和σtσf有关。k的取值越大，σtσf取值越小，L的取值就越小。影响k的取值因素主要是3次相位信号的3次项系数，而σtσf的大小则取决于短时窗函数的选择。

3 最佳窗函数

一个好的窗函数能够在很大程度上减小时宽和带宽积，从而提高信号参数估计与检测性能［17］，本节主要分析具有最小时宽和带宽积的STFRFT的最佳窗函数选择。

如图3所示，将整个时频平面分割成若干时频网格，则每一个小格可以看作是一个时频分辨单元，这些时频分辨单元构成了时频原子字典。

图3 STFRFT的时频分辨单元Fig.3 Time-frequency resolution unit of STFRFT

STFRFT的时频原子字典可以通过对窗函数进行时域和分数阶傅里叶域平移得到。设窗函数g（t）是一个实对称的偶函数，则STFRFT的时频原子字典为

式中:时频原子g子，ε为将g（t）在时域平移子个单位，分数阶傅里叶域平移ε个单位而得到的。对于任意的（子，ε），信号s（t）的STFRFT可以理解为将信号s（t）投影在每个字典原子g子，ε上，即

在对信号进行上述处理之后，分数阶傅里叶积分局限在了以子为中心的邻域范围之内，其在时域内的能量分布方差为

式中:‖g‖2代表信号能量。由于g子，ε（t）是偶对称函数，且其在时域和分数域的跨度大小与子和ε的取值无关，因此（13）式可以化简为

同理，g（t）在α阶分数傅里叶域内的能量分布方差大小为

式中:Gα（u）为信号g（t）的α阶FRFT。由于信号在时域和分数阶傅里叶域能量守恒，（15）式可化简为

由FRFT的性质［18］可得

即tg（t）cos α-jg′（t）sin α为uGα（u）的分数阶傅里叶逆变换。根据FRFT能量守恒关系:

令（18）式中Xα（u）=uGα（u），则（18）式转化为

因此，（16）式可化简为

则有

根据柯西-施瓦茨不等式可知，（21）式可化简为

根据柯西-施瓦茨不等式的等号成立条件，存在b∈C使得

因此，存在a∈C使得

（25）式说明，当窗函数为高斯型的窗函数时，STFRFT具有最佳时宽和带宽积。

4 仿真实验

4.1 不同窗函数下短时分数阶傅里叶变换的时频分辨

对于STFRFT，窗函数的选择可以多种多样，每一类窗函数的性质也不尽相同。工程中比较具有代表性的短时窗函数主要有矩形窗、高斯窗等，因此分别采用矩形窗和高斯窗进行STFT和STFRFT的对比仿真实验。

设3次相位信号s（t）=exp（j2π·（f0t-100t2+ 170t3）），初始频率f0=30 Hz，采样时间为1 s，采样频率为1 024 Hz，窗长同为128点，阶次搜索步长为0.01，其仿真结果如图4、图5所示。

图4 信号瞬时频率估计误差对比图Fig.4 Comparison chart of instantaneous frequency estimations

从图4中可以明显看出，利用STFRFT进行瞬时频率估计时，其平均误差要比利用STFT进行瞬时频率估计时平均误差要小。当利用STFT进行瞬时频率估计时，采用高斯窗误差会更小。

从图5中可以看出，信号在不同窗函数下能够获得不同的能量聚集性。当采用矩形窗时，信号能量不够集中，出现波束展宽而导致峰值高度不够明显，在频域上的分辨率较低。而采用高斯窗时，能量相对集中在一个很小的范围之内，其时宽和带宽积更小，时频分辨能力更高，该仿真也间接证明了图4数据的正确性。

图5 不同窗函数对时频分辨的影响Fig.5 Influences of different windows on time-frequency resolution

4.2 高斯窗长与瞬时频率估计的精度关系

为验证短时窗长与瞬时频率估计精度的关系，仿真仍采用3次多项式相位信号s（t）=exp（j2π·（f0t-100t2+170t3）），初始频率、采样时间及采样频率保持不变，采用高斯窗对信号进行STFRFT，窗长由16点变化至1 024点，步长为16点，窗与窗之间不重叠，STFRFT阶次搜索步长改为0.001，利用变换结果对信号进行瞬时频率估计，仿真结果如图6、图7所示。图7为图6中最佳窗长附近估计精度的局部放大图。

从仿真结果可以得出，随着窗长的增加，瞬时频率的估计精度呈现先增高，后降低的现象。起始时的估计精度较差主要是由于窗长太短而导致频率分辨率过低引起的频率估计误差，后来的估计精度下降主要是由于频率变化过快，在相对较长的时窗内不能达到良好的近似线性拟合导致的估计误差。从仿真数据可以得出，最佳窗长出现在112～128点之间，根据（10）式计算出的最佳窗长为116点，结果从仿真中得到了验证。

图6 窗长对瞬时频率估计精度的影响Fig.6 Influence of window length on instantaneous frequency estimation accuracy

图7 最佳窗长附近局部放大图Fig.7 Partial enlarged diagram of estimation accuracy with optimum window length

5 结论

本文从理论上分析了利用STFRFT对3次相位非线性调频信号进行信号瞬时频率估计时的估计精度与窗函数及窗长的关系，从而得出:对于3次相位非线性调频信号，其瞬时频率的估计精度与窗函数及窗长的选取有关，STFRFT的窗函数应选择为高斯窗，且应满足关系式L=33σtσf/2k，其中，L为窗长，σtσf为信号的时宽和带宽积，k为信号的调频率变化率。通过仿真实验证实，在对3次多项式相位信号进行瞬时频率估计时，STFRFT比与其类似的STFT具有更高的瞬时频率估计精度，且在高斯窗下，其估计精度比矩形窗更高。在对信号进行瞬时频率估计时，采用高斯窗的STFRFT将会获得更好的估计效果。

春天，一颗颗种子随手扔下，生根、发芽、长叶，精心料理，浇水施肥，理所当然会生长出各式各样的蔬菜。英老是这样想：子宫和菜地都是属于女人的，一个为男人传宗接代，一个需要女人辛辛苦苦耕耘一辈子。年复一年，菜地照常绿意葱葱，生机勃勃，而子宫就不一样了，和身体其他器官一样，它一天天走向衰老。更可怕的是，一头凶猛的野兽鲁莽地钻入了英衰老而脆弱的子宫，肆无忌惮地吞噬着她。

与此同时，由于FRFT在运算中涉及到二维搜索，每次搜索又涉及到快速傅里叶变换算法，因此STFRFT在运算上要比STFT运算量要大得多。

（

）

［1］ Kwok H K，Jones D L.Improved instantaneous frequency estimation using an adaptive short-time fourier transform［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2000，48（10）:2964-2972.

［2］ Stankovic L，Djurovic I，Stankovic S，et al.Instantaneous frequency in time-frequency analysis:Enhanced concepts and performance of estimation algorithms［J］.Digital Signal Processing，2014，35（12）:1-13.

［3］ Gupta R，Kumar A，Bahl R.Estimation of instantaneous frequencies using iterative empirical mode decomposition［J］.Signal，Image and Video Processing，2014，8（5）:799-812.

［4］ 朱明哲，姬红兵，林琳，等.基于方向性S变换的多分量FM信号瞬时频率估计［J］.系统工程与电子技术，2013，35（1）: 29-33. ZHU Ming-zhe，JI Hong-bing，LIN Lin，et al.Instantaneous frequency estimation of multicomponent FM signals based on directional S transform［J］.Systems Engineering and Electronics，2013，35（1）:29-33.（in Chinese）

［6］ 温景阳，张焕宇，王越.线性调频脉冲压缩雷达参数估计方法［J］.北京理工大学学报，2012，32（7）:746-750. WEN Jing-yang，ZHANG Huan-yu，WANG Yue.Prarmeters estimation algorithm of LFM pulse compression radar signal［J］. Transactons of Beijing Institute of Technology，2012，32（7）: 746-750.（in Chinese）

［7］ Wigner E.On the quantum correction for thermodynamic equilibrium［J］.Physical Review，1932.40（5）:749-759.

［8］ 刘峰，孙大鹏，黄宇，等.基于联合Wigner-Ville分布-随机Hough变换改进算法的线性调频信号参数快速估计［J］.兵工学报，2009，30（12）:1642-1646. LIU Feng，SUN Da-peng，HUANG Yu，et al.Fast parameter-estimation of LFM signal based on improved combined WVD and randomized Houghtransform［J］.ActaArmamentarii，2009，30（12）:1642-1646.（in Chinese）

［9］ Deng B，Luan J B，Cui S Q.Analysis of parameter estimation using the sampling-type algorithm of discrete fractional Fourier transform［J］.Defense Technology，2014，10（4）:321-327.

［10］ 陶然，邓兵，王越.分数阶傅里叶变换理论及应用［M］.北京:清华大学出版社，2009. TAO Ran，DENG Bing，WANG Yue.Fractional Fourier transform and its applications［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2009.（in Chinese）

［11］ Tao R，Li Y L.Short-time fractional Fourier transform and its applications［J］.IEEE Transactions on Signal Processing.2010，58（5）:2568-2680.

［12］ Stankovic L，Alieva T，Bastiaans M J.Time frequency signal analysis based on the windowed fractional fourier transform［J］. Signal Processing，2003，83（11）:2459-2468.

［13］ 李英祥，肖先赐.基于短时分数阶傅里叶变换域滤波的多项式相位信号时频检测［J］.声学学报，2003，28（6）:545-549. LI Ying-xiang，XIAO Xian-ci.The use of short time fractional Fourier transform domain filtering method for multi-polynomial phase signals detection in low SNR condition.［J］.Acta Acustica，2003，28（6）:545-549.（in Chinese）

［14］ 庞存锁，刘磊，单涛.基于短时分数阶傅里叶变换的时频分析方法［J］.电子学报.2014，42（2）:347-352. PANG Cun-suo，LIU Lei，SHAN Tao.Time-frequency analysis method based on short-time fractional Fourier transform［J］.Acta Electronica Sinica.2014，42（2）:347-352.（in Chinese）

［15］ Sejdic E，Djurovic I，Stankovic L.Fractional Fourier transform as a signal processing tool:An overview of recent developments［J］. Signal Processing，2011，91（6）:1351-1369.

［16］ Qi L，Tao R，Zhou S Y，et al.Detection and parameter estimation of multicomponent LFM signal based on the fractional Fourier transform［J］.Science in China Series F:Information Science，2004，47（2）:184-198.

［17］ 周云松.基于LFM信号检测的高斯窗短时傅里叶变换的窗函数选择［J］.重庆邮电学院学报，2005，17（5）:557-561. ZHOU Yun-song.Window selection in short time foutier transform with gauss window based on LFM signal detection［J］.Journal of Chongqing University of Posts and Telecommunications，2005，17（5）:557-561.（in Chinese）

［18］ Shinde S，Gadre V M.An uncertainty principle for real signals in the fractional fourier transform domain［J］.IEEE Transactions Signal Processing，2001，49（11）:2545-2548.

Error Analysis of Instantaneous Frequency Estimation Based on Short-time Fractional Fourier Transform

DENG Bing1，LUAN Jun-bao2，TANG Guang-sheng3
（1.Department of Electronic and Information Engineering，Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai 264001，Shandong，China；2.Graduate Students'Brigade，Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai 264001，Shandong，China；3.Unit 91599 of PLA，Laiyang 265200，Shandong，China）

As an important content on radar signal processing，instantaneous frequency estimation plays an essential role in target detection and recognition.The higher time-frequency resolution of short-time fractional Fourier transform（STFRFT）is used to analyze the relationship among window function，window width and the instantaneous frequency estimation precision of cubic phase non-LFM signal.The result shows that，when Gauss window is used，the estimation precision is the highest；the prime window width L，the product of pulse width and band width σtσfand the frequency fluctuation rate k should meetFinally，the result is verified through simulation.

information processing technology；parameter estimation；short-time fractional Fourier transform；instantaneous frequency；error analysis

TN957.51

A

1000-1093（2015）11-2104-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.11.013

2015-03-09

国家自然科学基金项目（60902054、61032001、61571454）；中国博士后科学基金项目（201003758、20090460114）

邓兵（1975—），男，副教授。E-mail:navy_dbing@tom.com