从一道反比例函数题谈函数大小比较

农汉涛

（广西靖西县民族中学 广西靖西 533800）

从一道反比例函数题谈函数大小比较

农汉涛

（广西靖西县民族中学 广西靖西 533800）

在初中阶段所涉及的三种函数一次函数（包括正比例函数），二次函数，反比例函数中，只有反比例函数对自变量x有要求，即x≠0。因为k≠0，则y也必定≠0，所以反比例函数的图象双曲线永远不会与坐标轴相交，因此它的性质中就特别强调："在图象所在的每个象限内"这一条件。，若忽略这个条件，就会给后面的解题带来麻烦，这也从某个方面说明教材编写具有相当的严密性。

反比例函数 双曲线 增减性 自变量x的取值

一、引言

数学新教材的最大特点就是体现素质教育的要求，重视人的发展，提倡课程与生活的联系，以数学源于生活又用于生活为主线，着重培养学生的创新意识和动手能力，培养学生学数学、用数学的意识，使其养成良好的学习习惯。《数学课程标准》明确指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。因此，我们要以鼓励学生主动参与，主动思考，主动探究，主动实践为基本特征，以实现学生多方面能力综合发展为核心.充分注意学生各种能力的培养。从实际出发，努力激发学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性和主动性。教会学生学习，教会学生思考，教会学生探索，使学生真正成为学习的主人。

二、背景和遇到的问题

在九年级上册第一章反比例函数的教学中，当学习完反比例函数的性质后，书本第14页“做一做”第1题第2小题是这样的：已知x1，y1和x2， y2是反比例函数两对自变量与函数的对应值，x1＞x2＞0，则0___y1___y2（填＞、＜、=），我们不妨称此题为例1，本题中因为a2≥0，所以-a2≤0，即反比例函数中的k＜0，所以y的值会随x的增大而增大，因为x1＞x2。所以y1＞y2，学生基本上能正确解决，但我相信，有许多同学都是一知半解的，为什么要在自变量中加入大于0的条件？为什么函数值中也涉及了与0的大小比较？所以我加入了例2，下列函数中，y随x的增大而减小的是___，A、y=-3x+4 B、y=C、y=-D、y=3x-2

生1：老师，选A。

生2：B也对，A和B都对。

师：同意生2的观点吗？

生：同意！

师：那谁来帮老师分析一下，为什么这两个解都对？

生3：因为一次函数y=kx+b，当k＜0时，y必定随着x的增大而减少，而A中，y=-3x+4，k=-3＜0，所以A正确。

师：对吗？

生：对。

师：B呢？

师：讲的很好。有谁需要补充吗？

生：……

师：我们不妨回到书本第13页，一起仔细地研读反比例函数的性质。

师：刚才生4的表述与书本上的表述有什么不同？

生5：书上详细地讲到，在图象所在的每一个象限内。

师：这是一句废话吗？为什么书本上不把它删去？

生：……

生：x≠0。

师：为什么？

生：因为分母不等于0。因为0不能作除数。

师：而一次函数y=kx+b中有没有这样的限制条件？

生：没有。

师：那么体现在图象上又有什么区别呢？

生：一次函数的图象是一条直线，x可以取任意值。

师：对，但反比例函数的双曲线呢？

如图，当k＞0时，图象分布在一、三象限。试问：图象的两个分支可不可能与两线标轴相交？

生：不可能。因为x≠0，y≠0。

师：恩，所以，两个分支是独立的。k＞0，y的值随着x的增大而减小，但必须在同一分支上，即在图象所在的每一个象限内才可以比较大小。

生：也就是自变量x必须都大于0，或都小于0。

师：所以例2中，该选择……

生：A。

师：若让B也正确，该如何修改？

生：加上x＞0或x＜0。

师：讲得很棒，现在我们再一起回过头来看例1，你注意到例1中 x1＞x2＞0了吗？

生：嗯，所以，最好利用图像来解决。

师：让我们试一试。

图象分布在二、四象限，x1＞x2＞0，说明图象只研究位于第四象限的那一支，y1＞y2，且0＞y1＞y2。

三、问题的解决

爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”发现问题，大胆怀疑，课堂上把“提问权”还给学生，并对他们的提问给予积极的鼓励、引导，对激发学生的强烈的探索动机，培养学生的思维能力会起到重要作用。在复习课中，我又结合两种函数，即反比例函数和一次函数的函数值大小和学生进行了一次探讨。因为我们都知道，在初中阶段，学习的几种函数中，只有反比例函数对自变量加以了限制（函数应用中自变量取值除外）。

作为教师，我们都知道，思维的发展过程是从发现问题开始，如郑板桥老先生说过：“学问二字，需要拆开来看，学是学，问是问，有学无问，虽读万卷书，只是一条钝汉耳。”所以学生对数学问题的发现，可以说，是数学创新教育的前提，学生应成为“提出问题——分析问题——解决问题”这个认知过程的主体，应享有这种思维活动的权利和机会。

例3，在平面直角坐标系中，一次函数y1=x+1与反比例函数交于A、B两点，问当x取何值时，y1＞y2？

两个函数图象的交点问题我们都可以把它转化为联列方程组求公共解的问题，如本例中解得即定点坐标为A（2，3），B（-3，-2），再接下来，利用函数图象，可以解题。如图：

当x=2或x=-3时，y1=y2，要使y1＞y2，即当取一个特定的x值，一次函数图象上的点要高于反比例函数，所以借助直线x=-3和直线x=2，以及y轴，就把整个坐标平面分成了四部分，即x＜-3， -3＜x＜0，0＜x＜2，x＞2发现，当-3＜x＜0和x＞2时，