解平面向量问题的两种思路

李爱兰

（寿阳县第一中学校 山西寿阳 045400）

解平面向量问题的两种思路

李爱兰

（寿阳县第一中学校 山西寿阳 045400）

向量是高中数学中重要和基本的概念之—，它有深刻的代数特征和几何背景，解决平面向量问题的时候也是从这两个显著特征入手的。

数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。我们可以理解为：向量的大小是它的“数”性、而它有方向，则说明它有“形”的性质，这样一来，向量实质上是个“数”、“形”兼备的量。所谓数，就是向量的模长，形是向量的方向。在学习了向量知识后，我们不妨这样去理解它的“数”、“形”兼备：“数”，即是向量的坐标，而“形”则体现在向量的运算都有对相应的几何表示。这样就为我们提供发两种解题的思路。

解法一：

解法二：

以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示坐标系，则

例2在直角三角形中，BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，则的夹角取何值时，向量有最大值，并求出最大值。

解法一

解法二：如图所示，以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c，|AC|=b则A（0，0），B（c，0），C（0，b），且|PQ|=2a，|BC|=a.

设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y）.

注：这种解法充分利用了题目中的垂直条件建立了平面直角坐标系，然后给定题目的定量（三角形的三边大小）和变量（PQ的位置），这样一来，题目所涉及的向量都可以进行坐标表示，最后数量积的最值就会转换成函数问题，利用我们所学的向量知识求解最值，并且也确定出了PQ的位置。

源于向量是“数”、“形”兼备的数学元素，向量问题有两种求解思路，上述两个例题都是一题两解，两种解法可概括为坐标法求解和“基底思想”结合向量运算求解。即用“数”解决向量问题——坐标法，或用“形”法来解决——基底法。