《直线的方程》教学设计

徐振宇，郑南南，闫雨飞

（1.陕西师范大学数学与信息科学学院；2.陕西师范大学数学与信息科学）

【教材】

北师大版高中数学必修2第二章2.1.2节。

【课时安排】

第1课时。

【教学目标】

（一）知识与技能

1.掌握由已知直线上一点和斜率导出直线方程的方法。

2.掌握直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式，并掌握它们各自的适用范围，能熟练地进行各种方程形式之间的互化。

3.能根据已知条件熟练求出各种形式的直线方程。

（二）过程与方法

1.通过建立各种形式的直线方程，进一步熟悉和巩固直线代数化的具体方法。

2.由“直线的点斜式方程”推导程序来类比学习其他形式直线方程建立方法，掌握类比的学习方法。

……

（三）情感、态度与价值观

通过本节内容的学习，进一步认识到同一个对象可用不同方法来研究的认识观；同时知道直线方程的五种形式是一个统一的相互转化思想……

【教学重点和难点】

教学重点：直线的点斜式方程、直线的一般方程。

教学难点：直线方程的应用。

【教学方法和手段】

教学方法：以问题引导的研究性学习。

教学手段：恰当使用多媒体展示学习内容。

【教学过程】

一、创设情境，导入新课

教师活动1：提出问题：（1）确定一条直线所需要的几何要素是什么？（2）一条直线与其斜率的对应关系是什么？

学生活动1：思考问题，回顾旧知，回答问题。

教师活动2：根据学生回答，用PPT呈现确定一条直线所需要的几何要素和一条直线与其斜率的对应关系。

1.确定一条直线所需要的几何要素

（1）已知两点P1（x1，y2），P2（x2，y2）可确定一条直线。

（2）已知P0（x0，y0）和倾斜角（斜率k）可确定一条直线。

2.一条直线与其斜率的对应关系

（1）对于任意一条直线l，它的倾斜角α唯一。

（2）当 α=90°时，斜率 k 不存在，当 α≠90°时，斜率 k 存在且唯一。

学生活动2：学生观看PPT，温顾旧知。

设计意图：通过老师提问，一是集中学生注意力；二是让学生回顾所学知识，为新知识的学习做准备。

二、提出问题，探索新知

教师活动3：提出新的思考问题：给定直线l经过P0（x0，y0），且斜率为k，如何求直线l的方程？

学生活动3：进入思考状态。

教师活动4：给予学生适当引导：设点P（x，y）是直线l上不同于点P0的任意一点，因为直线l的斜率为k，由斜率公式得：

图1

学生活动4：学生思考并理解刚才的推导过程。

设计意图：通过问题驱动学生思考，并调动学生学习新知识的热情。

1.小组讨论，引导探究

教师活动5：同学们分小组讨论如下两个小问题：

（1）经过点P0（x0，y0），斜率为k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？

（2）坐标满足方程（1）的点都在经过点P0（x0，y0），斜率为k的直线上吗？

学生活动6：小组讨论，并回顾方程（1）的推导过程，得出结论：上述的两个小问题都是对的。

教师活动6：让学生回答小组讨论的结果并总结：方程（1）就是直线方程的点斜式。

设计意图：通过小组讨论，让学生在与他人交流的过程中分享自己的收获并让学生感受到学习数学的快乐。

2.类比迁移，自主探究

教师活动7：继续分小组讨论，设计新的探究任务：若已知直线l的斜率为k，与y轴的交点为P（0，b），结合直线方程的点斜式，直线的l方程又如何？

学生活动7：学生分组讨论，动手实践，相互交流，尝试给出结果。

预计学生能给出直线l的方程：

教师活动8：用几何画板演示直线方程的斜截式的发现过程，并动态演示截距b的变化过程；而方程（2）仍成立，让学生体会直线方程的斜截式b的任意性。

学生活动8：学生观看演示，形成完整的认知。

设计意图：让学生类比直线方程的点斜式探索过程，以自主探究与团队协作相结合的形式探究新知，充分调动学生参与知识建构的积极性、主动性。

教师活动9：教师引导学生提炼发现过程，得出直线方程的斜截式。

学生活动9：学生领悟发现过程。

设计意图：让学生感悟由直线方程的点斜式到直线方程的斜截式的探索过程，并体会其中蕴涵的数学思想和方法，感受其中包含的数学之趣。

3.拓展延伸，升华能力

教师活动10：同学们想一想方程的斜截式：y=kx+b与我们学过的一次函数表达式之间有什么关系呢？

学生活动10：同学们思考。

预计有些学生会忽略一次函数中k不能为0。

设计意图：让学生在学习新知识的同时并回顾以前所学的知识，形成一个完整的知识系统。

教师活动11：同学们，我们已经学了直线方程的点斜式与斜截式。现在我们来完成以下知识清单来加强对知识点的掌握。

知识清单

学生活动11：填表，巩固所学知识。

设计意图：通过填写表格，整体理解直线方程点斜式与斜截式的结构特征，领悟本节课的实质——将平面上点、线的几何关系转化为其代数关系（直线的方程）。

三、例题讲解，学以致用

教师活动12：用PPT呈现例题，要求学生独立求解。

例1：直线l经过点P0（2，3），且倾斜角为α=45°，求直线l的点斜式方程。

设计意图：通过学生练习，及时提供反馈，让学生感受合理选择和应用公式的意义。

例 2：已知直线 l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，试讨论：（1）l1∥l2的条件是什么？（2）l1⊥l2的条件是什么？

学生活动12：学生在独立思考的基础上解决问题。

设计意图：让学生回忆前面用斜率判断两直线平行、垂直的结论，加深对直线斜率与倾斜角的理解。

四、学生总结，老师提炼

教师活动13：同学们，回忆本节课的教学，鼓励学生进行总结。

学生活动13：学生尝试给出总结。

本环节侧重三点：（1）斜率式是点斜式的一种特殊形式；（3）说明本节课蕴涵着数形结合、分类讨论等数学思想方法；（3）鼓励学生反思，大胆质疑。

设计意图：让学生巩固本节课所学知识，回顾探索历程，体悟其中的数学思想与方法；认识到本节课的实质是将平面上的点、线的几何关系转化为其代数关系（直线的方程），再结合已经学过的直线倾斜角和斜率等知识，推导出直线的方程。

五、布置作业，拓展延伸

1.常规作业：P65页练习1

2.拓展作业

当 α 为何值时，直线 l1：y=-x+2a与直线 l2：y=（a2-2）x+2 平行？

设计意图：这是一道开放性题目，有助于培养学生的发散思维，巩固新知识。

（选做题）在本节课的学习基础上，预习直线方程的两点式和一般式。

设计意图：这是为学有余力的学生安排的，将课堂的数学探究活动延伸到课外。作业的分层布置，体现分层教学，使不同层次的学生都有所收获。

刘影.数学教学实践［M］.北京：北京大学出版社，2010.