循环竞争博弈的线性控制

唐长庆，田宝国，王　栋（海军航空工程学院.研究生管理大队；.基础部，山东烟台264001）



循环竞争博弈的线性控制

唐长庆a，田宝国b，王栋b
（海军航空工程学院a.研究生管理大队；b.基础部，山东烟台264001）

摘要：研究了最近邻空间循环竞争博弈对应的反应扩散方程及其控制动力学，通过相应的数值模拟，得到常参量控制和单变量线性控制的结果，针对各种螺旋波漂移现象，由数值计算得到螺旋波波头的漂移轨迹，以及平均漂移速率的时间曲线，并进一步拟合得出整个漂移过程的平均速率随控制参量变化的函数。

关键词：循环竞争博弈；斑图；线性控制；螺旋波漂移

循环竞争是自然界和人类社会普遍存在的一种现象。有关循环竞争博弈及其扩散的理论与模拟研究结果表明，物种个体的空间分布与扩散均出现复杂的斑图涌现现象[1-4]，例如，在某些条件下出现不规则斑块，而在其他条件下出现靶波、行波以及各种螺旋波及其扩散运动现象[5-8]。螺旋波在各种可激发系统和种群动力学中相当普遍，如Belousov-Zhabotinsk反应[9-10]、心脏组织[11]、种群动力学[12]和移动的循环竞争种群[1]。螺旋波在种群动力学中很重要，特别是在随机相互作用的循环竞争种群中，生物多样性可以通过相互缠绕的螺旋波来得到维持和保持稳定[1，3]。

考虑到现实情况的复杂性，例如，由于地理条件的影响，使得物种捕食、繁殖等活动强度沿地理分布逐渐衰减或增强，这些因素的影响可以通过对反应扩散方程添加控制项来进行研究。本文就是通过在反应扩散方程基础上加入控制项，来研究上述因素对循环竞争博弈及其扩散运动的影响，研究的情况包括常参量控制和单变量线性控制。

1　反应扩散方程与控制动力学

根据T. Reichenbach等的工作[1，3]，只考虑最近邻相互作用模式下的循环竞争博弈，研究其热力学极限情况。反应扩散方程组如下：式（1）中：ρA(,,t )、ρB(,,t )、ρC(,,t )分别为物种A、B、C所占的比例；μ为消灭率；σ为繁殖率；d为正常扩散系数。给式（1）加上控制项f，控制项加在方程右端除扩散项外的所有其他项上，得：

在以下的反应扩散方程数值模拟过程中，均采用256×256网格，边长为1，最小时间间隔Δt=0.1，使用无流边界条件，采用的数值模拟方法为隐式欧拉法。

2　线性控制与螺旋波漂移

控制项表示为式中：L=256；b1、b2是可调参量。当b2=0时，即为常参量控制。

在数值模拟过程中，选择合适参量值，会出现3物种空间分布与扩散对应的单臂螺旋波。通过仿真模拟发现，当b2=0且04.3时，会出现2个以及更多数量的螺旋波，并且是不稳定的。图1 a）~d）给出了b1=1.0、b1=2.0和b1=4.0情况下螺旋波波头的轨迹曲线以及b1=4.0时3物种的分布斑图，图1 c）~d）中螺旋波波头沿右偏上直线方向移动，其轨迹为不规则曲线。

图1　螺旋波波头的轨迹曲线与3物种的分布斑图Fig.1 Trajectorcurve of spiral wave tip and the distribution spot pattern of the three species

当b2≠0时，选择单臂螺旋波稳定漂移为判据，可以得到控制参量b1与b2的关系曲线，如图2所示。

图2　控制参量b1、b2的关系曲线Fig.2 Relation curve of control parameter b1and b2

图2中虚线所示曲线是对b1与b2的关系拟合出来的，拟合所得函数如下：

由式（4）可知，虚线所示曲线是一抛物线。

图2中阴影部分（包括曲线）为单臂螺旋波稳定漂移的参量区域，其范围为0.4≤b1≤4.6、0

图3 a）~c）从左至右分别对应b1=1.0、b1=3.2、b1=3.9时3物种的自组织斑图。在单臂螺旋波不稳定区，会有2个物种逐渐消失，最终只留下1个物种；或者，先是由单臂螺旋波分裂为多臂螺旋波，经过长时间演化，最终只有1个物种存留下来，哪1个物种能够存活是随机的。图3 d）为b1=2.0且b2=3.0时对应的自组织斑图。

从螺旋波的漂移过程可以得知，b1是全局性控制项，它影响的是种群在整个空间的繁殖率和消灭率，其越大螺旋波的波长越小；b2是空间梯度控制项，主要影响的是物种在各个位置处的繁殖率和消灭率，其越大螺旋波波头漂移的速率越大。

图3　不同控制参量下形成的自组织斑图Fig.3 Self-organizing spot pattern formed under different control parameters

为了清楚地描述螺旋波的漂移轨迹，我们取一特殊情况进行研究，取b1=2.0，使b2由0递增，即f沿轴正方向线性增加，新的繁殖率与消灭率同样随坐标线性增加。模拟代数最大为105，进行数值模拟，得到各种情况下螺旋波波头漂移的轨迹曲线与3物种的分布斑图，分别见图4 a）~e）。

图4　螺旋波波头的轨迹曲线与3物种的分布斑图Fig.4 Trajectorcurve of spiral wave tip and the distribution spot pattern of the three species

由图4 a）~e）可知，螺旋波波头的漂移方向是沿一倾斜直线，即沿坐标、减小（左偏下）的直线方向，但具体轨迹是沿倾斜直线方向的不规则曲线，b2值越大，平均飘移速率越大，针对参量b2的取值，以3 000代为时间间隔计算得到螺旋波波头漂移的平均速率-v、-v，见图5 a）。由图5 a）发现-v、-v围绕相应的均值呈波动变化，进一步可求出整个漂移期间的平均速率值，得到平均速率与参量b2的关系曲线，见图5 b）。

图5　螺旋波波头漂移的平均速率曲线Fig.5 Average velocitcurve of spiral wave tip drift

对图5 b）中平均速率-v、-v与参量b的关系曲线

2进行拟合，得到拟合函数关系式：，可见，-v≈2-v。

3　结论

由以上研究结果可以得知，加入控制项后螺旋波会出现漂移，在控制项f中，参量b1是全局性控制项，其越大螺旋波的波长越小；b2是空间梯度控制项，其越大螺旋波波头漂移的速率越大。通过大量的数值模拟，得到了单变量线性控制情况下单臂螺旋波稳定漂移的b1与b2关系图，以及螺旋波波头的漂移轨迹及其平均速率-v、-v关系曲线。

参考文献：

[1]REICHENBACH T，MOBILIA M，FREE. Mobilitpromotes and jeopardizes biodiversitin rock-paper-scissors games[J]. Nature，2007，448：1046.

[2]REICHENBACH T，MOBILIA M，FREE. Noise and correlations in a spatial population model with cclic competition[J]. Phsical Review Letters，2007，99：238105.

[3]REICHENBACH T，MOBILIA M，FREE. Self-organization of mobile populations in cclic competition[J]. Journal of Theoretical Biolog，2008，254：368.

[4]REICHENBACH T，FREE. Instabilitof spatial patterns and its ambiguous impact on species diversit[J]. Phsical Review Letters，2008，101：058102.

[6]BUDRENE E O，BERG H C. Dnamics of formation of smmetrical patterns bchemotactic bacteria[J]. Nature，1995，376：49.

[7]BEN JACOB E，SCHOCHET O，TENENBAUM A，et al. Generic modeling of cooperative growth patterns in bacterial colonies[J]. Nature，1994，368：46.

[9]ZAIKIN A N，ZHABOTINSKA M. Concentration wave propagation in two-dimensional liquid-phase selfoscillating sstem[J]. Nature，1970，225：535.

[10]WINFREE A T. Spiral waves of chemical activit[J]. Science，1972，175：634.

[11]DAVIDENKO J M，PERTSOV A V，SALOMONSZ R，et al. Stationarand drifting spiral waves of ecitation in isolated cardiac muscle[J]. Nature，1992，355：349.

[12]HASSELL M P，COMINS H N，MAR M. Spatial structure and chaos in insect population dnamics[J]. Nature，1991，353：255.

Linear Control Research of Ccle Competition Game

TANG Chang-qinga, TIAN Bao-guob, WANG Dongb
（Naval Aeronautical and Astronautical Universita. Graduate Students’Brigade; b. Department of Basic Sciences,antai Shandong 264001, China）

Abstrraacctt:: In this paper, the corresponding reaction-diffusion equation and control dnamics of the nearest-neighborspace cclical competition game was studied. Through the corresponding numerical simulation, the results of constant pa⁃rameter control and the linear single-variable control were got. To the varietof spiral wave drifting phenomenon, the tra⁃jectorof the spiral wave drifting and the average drifting velocitdistribution over time were obtained through the numeri⁃cal calculation, further the fitted function of average velocitchanging with control parameters in the whole drift process was got.

作者简介：唐长庆（1989-），男，硕士生。

基金项目：学院基础研究基金资助项目

收稿日期：2014-11-20；

DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2015.02.023

文章编号：1673-1522（2015）02-0197-04

文献标志码：A

中图分类号：O231.1

修回日期：2015-01-14