Banach空间中的常微分方程边值问题的拟上下解方法

刘孝磊，马翠玲，郝树艳，孙玺菁（海军航空工程学院基础部，山东烟台264001）



Banach空间中的常微分方程边值问题的拟上下解方法

刘孝磊，马翠玲，郝树艳，孙玺菁
（海军航空工程学院基础部，山东烟台264001）

摘要：利用拟上下解方法，研究了一阶非线性微分方程边值问题u′(t ) =f(t,u(t ) )，u(0 ) -u(T ) =1,1≥0拟解的存在性，并通过线性微分方程的解来构造算子，从而得到单调迭代序列，进而得到该边值问题的最大最小拟解对。

关键词：边值问题；拟上下解；单调迭代

目前，在微分方程的研究领域中利用拟上下解方法来研究微分方程解的存在性是一种重要且行之有效的方法。

文献[1-9]中分别研究了一阶常微分方程初值、终值及周期边值问题的拟上下解方法。作为研究周期边值问题的一种推广，本文来考虑如下一阶微分方程边值问题：并设f(t,) =f0(t,) +f1(t,) +f2(t,)，其中f0,f1,f2:J×R→R均连续，J=[0,T ]。

1　预备知识

定义1[5]：设B是半序Banach空间，D⊂B，A:D×D→B。若A(,)关于是增算子，关于是减算子，则称A是混合单调算子。

定义2[5]：设B是半序Banach空间，D⊂B，A:D×D→B。若存在(*,*)∈D×D，使得A(*,*)=*，A(*,*)=*则称(*,*)是A的一对拟不动点；若(*,*)是A的一对拟不动点，*≤*，并且对A的任意一对拟不动点(ˉ,ˉ )都有*≤ˉ，*≤ˉ，则称(*,*)是A的一对最大最小拟不动点。

定义3[5]：若(0,0)∈D×D,0≤0，使得0≤A(0,0)，A(0,0)≤0，则称(0,0)是A的一对拟上下解。

定义4：若v0(t ) ,w0(t )∈C1(J,R )，满足：则称(v0(t ) ,w0(t ) )为周期边值问题（1）的一对拟上下解，其中v0(t )为拟下解，w0(t )为拟上解。若式（2）、（3）中不等式均以等式成立，则称(v0(t ) ,w0(t ) )为边值问题的一对拟解。

引理1（Ascoli-Arzela定理）[6]：设F在[α,β ]上是一致有界和等度连续的，则存在{fn}⊂F在[α,β ]上是一致收敛的。

引理2[5]：设B是半序Banach空间，0,0∈B，0≤0，D=[0,0]，A:D×D→B。若：

（1）A∈C(D×D,B )；

2　主要结果

定理1：设v0(t )，w0(t )分别是边值问题的一对拟上下解，并且v0(t )≤w0(t )，t∈J。如果对∀t∈J，v0(t )≤≤≤w0(t )，有

则边值问题在D×D中存在最大最小拟解(v*(t ) ,w*(t ) )，即边值问题的一对拟解，并且对任意一对拟解(vˉ(t ) ,wˉ(t ) )∈D×D，都有

其中，D={u|v0≤u≤w0}。若分别以(v0(t ) ,w0(t ) )，(w0(t ) ,v0(t ) )为初始元素作迭代序列其中，则{vn}，{wn}是单调的，并且vn(t )，wn(t )分别一致收敛于v*(t )，w*(t )。

证明：设v0(t )≤w0(t )，t∈J。令，任给(h1,h2)∈D×D，考虑线性边值问题

F(h1,h2)由式（7）定义。显然该边值问题有唯一解为

由式（8）定义。

定义算子则A:D×D→C(J,ℝ )连续，并且A在D×D中的不动点与周期边值问题在D×D中的解是等价的。以下只需证明算子A满足引理1的条件。

首先，证明A是混合单调算子。

不妨设h11≤h12，下证A(h11,h2)≤A(h12,h2)。

由A的定义知，只需证明如果能证明则式（10）成立。式（11）等价于即由h11≤h12及条件（4），上式成立，即

A(h11,h2)≤A(h12,h2)。

同理可以证明，若h21≤h22，则A(h1,h21)≥A(h1,h22),即A是混合单调算子。

其次，证明v0≤A(v0,w0)，A(w0,v0)≤w0。若令v1=A(v0,w0)，则由A的定义有从而

令m(t ) =v1(t ) -v0(t )，则由拟上下解的定义及上式有

下面比较v1(0 )与v1(T )的大小和v0(0 )与v0(T )的大小。由于-1≤0，所以v1(T )≤v1(0 )。

另一方面，由于v0是方程的下解，故有v0(0 ) -v0(T )≤0≤1，即v0(0 )≤v0(T )。

综合以上2个不等式，v1(T )≤v1(0 )，v0(0 )≤v0(T )，得

以下证明：对∀t∈J, m(t )≥0。

利用反证法，假设上述结论不成立，则存在t0∈J使得m(t0)= mt∈iJn m(t ) <0。由式（12）得，可取t0∈(0,T ]，有m′(t0)≤0。从而m′(t0)≥-Mm(t0)>0，矛盾。故m(t )≥0,∀t∈J，即v0≤A(v0,w0)，同理可证A(w0,v0)≤w0。

最后证明A(D×D )⊂C(J,R )是相对紧的。

对任意的u∈A(D×D )，由A的定义，存在(h1,h2)∈D×D，使得u=A(h1,h2)，即

因为A是混合单调算子及v0≤A(v0,w0)，A(w0,v0)≤w0，所以对v0≤h1≤w0，v0≤h2≤w0，有，即A:D×D→D，从而A(D×D )是一致有界的，所以{F(h1,h2)-Mu|(h1,h2)∈D×D,u=A(h1,h2)}是一致有界的，即{u′|u∈A(D×D )}是一致有界的，从而A(D×D )是等度连续的。由Ascoli- Arzela定理，A(D×D )⊂C(I,R )是相对紧的。

至此，引理1中的条件均成立。根据引理1得，边值问题在D×D中存在最大最小拟解(v*(t ) ,w*(t ) )，并且对任意一对拟解(vˉ(t ) ,wˉ(t ) )∈D×D，都有v*(t )≤vˉ(t )，wˉ(t )≤w*(t )，其中D={u|v0≤u≤w0}。进一步，若分别以(v0(t ) ,w0(t ) )，(w0(t ) ,v0(t ) )为初始元素作迭代序列vn(t ) ,wn(t )，则{vn(t ) } ,{wn(t ) }是单调的，并且vn(t ) ,wn(t )分别一致收敛于v*(t ) ,w*(t )。

3　结论

本文利用拟上下方法研究了一类一阶微分方程边值问题，并通过构造单调迭代序列得到该问题的最大最小拟解。另外，从方程所给的条件可以看出，在一阶微分方程边值问题（1）中，当1=0时，这个边值问题就是通常的周期边值问题，因而问题（1）是比周期边值问题更具一般性的一类边值问题。

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Reforming Estimation of the Perturbation Bound in Wilkinson Theorem

作者简介：刘孝磊（1983-），男，讲师，硕士。

收稿日期：2014-09-11；

DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2015.02.019

文章编号：1673-1522（2015）02-0181-03

文献标志码：A

中图分类号：O175

修回日期：2014-12-17