一类有理递归序列的简单性态

曾晓云，孙慧静（海军航空工程学院基础部，山东烟台264001）



一类有理递归序列的简单性态

曾晓云，孙慧静
（海军航空工程学院基础部，山东烟台264001）

摘要：在Alaa E.Hamza和A.MorsAlaa等有关有理递归序列的稳定性研究的基础上，对时滞为k的情形做了进一步讨论，研究了有理递归序列的全局性和有界性，得到了关于该递归序列稳定性的几个判定定理。

关键词：有理递归序列；有界性；局部渐近稳定

1　问题的提出

近几十年来，有理递归序列性态的研究一直是微分方程领域的热点问题[1-6]。Alaa E.Hamza和A.Mors在文献[7]中对有理递归序列

做了详尽的讨论并得到了比较好的结论，式中，α∈(0,+∞ )，k是一个正整数。但对于时滞为k的一般情形，Alaa E.Hamza和A.Mors并没有更进一步讨论。

本文将讨论下列有理递归序列

的稳定性。式中，α∈(0,+∞ ), k、m是正整数，初值-k,-k+1,…,-1,0是任意正实数。

设I⊆R是一有界区间，并且假设f:I×I→I是一连续可微函数。对于每一组初值{-k,0}⊂I，差分方程有唯一解

相应地得到方程

为了证得本文的主要结论，引入以下定理。

定理1[8]：I）如果式（4）的所有根都位于开盘|λ|<1中，那么方程（2）的平衡解ˉ是局部渐近稳定的。II）式（4）的所有根都位于开盘|λ|<1中的充分必要条件是|p| <1+q<2，此时平衡解ˉ是局部渐近稳定的。III）式（4）的所有根都位于开盘|λ|<1之外的充分必要条件是|q| >1且|p| >|1-q |，此时平衡解ˉ是不稳定的，平衡解ˉ称为一个排斥点。IV）特征方程（4）有一个绝对值等于1的根的充分必要条件是|p| =|1-q |或q=-1且|p|≤2，此时平衡解ˉ称为一个非双曲点。

2　有理递归序列的有界性和全局性

本节研究下列有理递归序列的有界性和全局性：

为了得到本文的主要结论，首先证明下列3个引理。

情形1：01。

情形2：m>1。因为g在区间[0,∞ )上单调递增，g(1 ) =-α<0且li→m∞g() =+∞，那么g有唯一平衡解ˉ>1。

证明：由方程（1）、（2）和定理1，有f(u,v ) =α+u-mv。则。

如果α>1，同理可以证得：

通过上述3个引理的结论，可以证得本文的主要结论定理2。

3　结束语

参考文献：

[1]ABU- SARIS R，DEVAULT R. Global stabilitofn+1=A+(nn-k) [J]. Applied Mathematics Letters，2003，16：173-178.

[2]SALEH M，ALOQEILI M. On the rational difference equationn+1=A+(nn-k) [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2006，177：189-193.

[3]KULENOVI’C M R S，LADAS G. Dnamics of second order rational difference equations[M]. Boca Raton：Chapman & Hall，2002：23-75.

[5]曾晓云，胡正高，时宝.关于递归序列的稳定性[J].海军航空工程学院学报，2010，25（1）：109-112. ZENGIAOUN，HU ZHENGGAO，SHI BAO. Stabilitof solutions for the recursive sequence[J]. Journal of Naval Aeronautical and Astronautical Universit，2010，25（1）：109-112.（in Chinese）

[6]ABOUTALEB M T，EI-SAED M A，HAMZAA E. Stabilitof the recursive sequence[J]. Journal of Mathematics Analsis and Applications，2001，261：126-133.

[7]ALAA E HAMZA，MORSA. On the recursive sequence[J]. Applied Mathematics Letters，2009，22：91-95.

[8]KOCIC V L，LADAS G. Global behavior of nonlinear difference equations of higher order with applications[M]. London：Kluwe Academic Publishers，1993：11-37.

A Simple State of Rational Recurrence Sequence

Abstrraacctt:: On the base of the studof Alaa E.Hamza and A.MorsAlaa about the stabilitof the recursive sequence, the general case that delais k was investigated, the global stabilitand boundness of the re⁃cursive sequencewas studied, and some judgment theorems of recursive sequence stabilitwere obtained.

作者简介：曾晓云（1969-），女，副教授，硕士。

收稿日期：2014-09-24；

DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2015.02.018

文章编号：1673-1522（2015）02-0178-03

文献标志码：A

中图分类号：O175.1

修回日期：2015-01-15