基于遗传算法的蜗杆蜗轮优化设计

武洪恩， 王宜宁， 程玉玲， 徐雯斐

（山东科技大学机械电子工程学院，山东青岛266590）

0 引言

蜗杆传动是机械传动中应用广泛的一种运动，在空间交错的两轴间传递运动和动力。蜗杆传动具有传动比大、工作平稳、噪声小、结构紧凑、可实现自锁的优点。但一般的蜗杆传动效率较低，摩擦损失较大，为了与蜗杆配对组成减摩性良好的滑动摩擦副，蜗轮常用贵重的有色金属制造。为了节省有色金属，降低成本，在蜗杆传动的优化设计中，应该以蜗轮的有色金属圈体积最小作为设计目标。贾毅朝和邓晓红［3-4］利用MATLAB优化函数对蜗杆头数、模数、直径系数等参数进行了优化，得出了不同参数对蜗轮齿圈体积的影响，但未给出满足条件的最优解。本文采用遗传算法对蜗杆齿轮体积进行参数优化，利用遗传算法与其他优化算法相比具有更强的全局寻优能力、隐并行性、高鲁棒性等智能特性，避免常用优化算法中出现的局部最优解，大幅度降低陷入局部最优解的概率。

1 优化数学模型建立

1.1 建立目标函数

根据优化目标，取蜗轮齿圈的体积最小作为目标函数，由图1得到

式中：b是齿宽；de是外径；da是齿顶圆直径；df是齿根圆直径；d0是内径，q是蜗杆的直径系数；m是蜗轮模数；i是传动比；z1是蜗杆头数；ψe和ψb分别是蜗轮齿圈外径系数和齿宽系数，在本函数中取ψe=1.5，ψb=0.75。

1.2 确立设计变量

由式（1）可知，蜗轮齿圈的体积与蜗杆头数z1、模数m、直径系数q和传动比i有关。由于传动比i一般是已知量，所以取蜗杆头数z1、模数m、直径系数q作为本次设计的变量，即 x=（x1，x2，x3）T=（z1，m，q）T，因此可将目标函数写成

图1 蜗轮齿圈的结构简图

1.3 约束条件建立

1.3.1 性能约束条件1）蜗轮齿面接触强度的限制：

式中：K为载荷系数；蜗轮传递的转矩T2=9550iηP1/n1；P1为输入功率；n1为转速；蜗杆传动效率［σH］是蜗轮齿圈材料的许用接触应力。因此得到

2）蜗轮齿根弯曲强度的限制：由于蜗轮轮齿的齿根是圆弧形，抗弯能力较强，很少发生蜗轮轮齿折断。所以，不再进行蜗轮齿根弯曲强度的计算。

3）蜗杆刚度的限制。此次设计的蜗杆工作时最大挠度不大于0.001d1=0.001mq，即y=。其中：蜗杆支承跨度L≈0.9miz1；惯性距J=πm4（q-2.4）4/64；蜗杆圆周力Ft1=2T1/（mq）；径向力Fr1=2T2tan20°/（iz1m）；弹性模量 E=2.1×105MPa。

因此得到

1.3.2 设计变量边界条件

1）蜗杆头数的限制。要求2≤z1≤3，因此有：

2）模数的限制。对于中小功率的蜗杆动力传动，3≤m≤5就可满足需要，因此有：

3）蜗杆直径系数的限制。取5≤q≤16，因此有：

2 遗传算法

2.1 遗传算法的基本原理

遗传算法（GA）是一种通过模拟自然界适者生存的生物进化过程搜索最优解的方法。它把问题看成一个群体，根据适者生存的规则，在潜在的解决方案种群中逐次产生一个近似最优解的方案。遗传算法的主要运算过程如下：1）初始种群的产生；2）编码；3）适应度评价；4）选择；5）交叉；6）变异；7）终止条件判断。

2.2 适应度函数

在GA中，用适应度函数来度量群体中各个个体的优良程度。适应度较高的个体遗传到下一代的概率较大，适应度较低的个体遗传到下一代的概率较小。适应度函数的构造如下：

其中：x是染色体；f（x）是目标函数；p（x）是惩罚项。利用外点惩罚函数构造适应度函数，对于最小值问题：

p（x）=0，x 可行；

式中，r0和r1是不等式约束函数的惩罚因子。

3 基于MATLAB遗传优化算法实现

根据式（2），设定初始工作条件为：单级普通圆柱蜗杆齿轮减速器的输入功率P1=6 kW，转速n1=1 450 r/min，传动比i=20，单向传动，载荷平稳，k=1.1。蜗杆选用低碳合金钢20CrMnTi，芯部调质，齿部渗碳淬火，硬度＞45HRC；蜗轮选用锡青铜ZCuSn10Pb1，金属膜铸造。蜗轮齿圈的许用接触应力［σH］=220 MPa。通过利用MATLAB对这个问题进行优化求解，验证了遗传算法在齿轮优化过程中的实用性和有效性。

3.1MATLAB解决工程中的实际问题的一般步骤

1）针对具体工程建立优化设计的数学模型。2）分析数学模型的目标函数和约束条件，并建立相应的目标函数和约束函数文件。3）选用合适的优化工具函数，建立调用优化工具函数的命令文件。4）完成优化设计，分析优化结果。

3.2 基于MATLAB优化程序设计

部分优化程序如下：适应度函数的建立：

function［sol，y］=GA_VY（sol，options）

%设计变量

x（1）=sol（1）；x（2）=sol（2）；x（3）=sol（3）；

%目标函数

i=20；

f=1.48*pi*（x（3）+2）*（40*x（1）-0.9）*x（2）^3；

%性能约束

K=1.1；P1=6；n1=1450；sigma_HP=220；

eta=1-0.035*sqrt（i）；T1=9550*P1/n1；T2=i*eta*T1；

g1=K*T2*（15150/（i*x（1）*sigma_HP））^2-x（2）^3*x（3）；

g2_1=0.729*i^3*x（1）^3*sqrt（（2*T1/（x（2）*x（3）））^2+（T2*tan（pi/9）/（i*x（1）*x（2）））^2；

g2_2=157.7*pi*x（2）^2*x（3）*（x（3）-2.4）^4；

g2=g2_1-g2_2；

r0=0.1；r1=0.05；

p=r0*g1^2+r1*g2^2；

if（g1<=0）&（g2<=0）

y=-f；

else y=-（f+p）；

end

%编码和生成初始种群，个体数目一般取20～100

bounds=［2 3；3 5；5 16］；

startPop=initializega（50，bounds，’GA_VY’，［］）；

%遗传算法优化搜索，终止进化代数一般取100～500

［xf，endP，beestS，trace］=ga（bounds，’GA_VY’，［］，［］，［］，’maxGenTerm’，500，）；

3.3 优化结果分析

根据3.2节中的程序，运行此程序，繁殖到251代得到稳定解，即得到遗传算法最优解：

x=（z1，m，q）=（2.9969，3.9910，15.2265）Vmin=605794.2268mm3。

对优化结果进行圆整，得到取蜗杆头数z1=3，模数m=4mm，直径系数q=16，蜗轮齿圈体积V=637 934.1165 mm3。将最优解代入性能约束条件中，验证均满足约束条件。经圆整后的结果与常规设计对比，如表1所示。

4 结论

1）从表1中知道，相比常规设计结果，蜗轮齿圈体积减少31%。显而易见，用优化设计的得到的方案更加紧凑，充分显示了它的应用价值。

表1 优化设计与常规设计对比

2）应用遗传算法进行设计能够提高设计水平，减少材料的使用，这为产品的优化改进设计提供了理论基础。

［1］ 陈伦军，罗延科，陈海虹，等.机械优化设计遗传算法［M］.北京：机械工业出版社，2005.

［2］ 郭仁生.机械工程设计分析和MATLAB应用［M］.北京：机械工业出版社，2011.

［3］ 贾毅朝，曲尔光，张慧鹏.基于MATLAB的蜗杆传动优化设计［J］.组合机床与自动化加工技术，2010（5）:97-99.

［4］ 邓晓红.蜗杆传动的优化设计［J］.淮海工学院学报，2005，14（4）:21-23.

［5］ 乔桂玲，吕莉.蜗轮蜗杆的参数化设计与绘图［J］.煤矿机械，2007，28（2）：85-88.

［6］ 杜海霞.基于遗传算法的锥齿轮减速器优化设计［J］.机械制造与自动化，2011（1）：28-29.