坐标系中“找规律”题的求解策略

☉江苏省苏州市高新区第一中学　张明环

坐标系中“找规律”题的求解策略

☉江苏省苏州市高新区第一中学张明环

一、引言

“找规律”问题是中考中的热点问题，以坐标系为背景的“找规律”题是此中最为常见的一类.这类试题一般被编排在填空题或选择题的“压轴”位置，将矩形、菱形、正方形、全等三角形、相似三角形、直角三角形、锐角三角函数、一次函数、反比例函数等知识融进坐标系中，此外，数形结合、运动变换等数学思想也会渗透进去.解答这些题目，学生不仅要储备充足的知识，还应具有较强的数学推理能力，当然，与问题解决匹配的基本活动经验也是必须具备的.解答这类考题，挖掘文本中蕴含的数据信息和图形中隐藏的变化规律是关键.在近期的压轴题专题教学中，笔者充分利用这类考题的信息“加载”特点，形成了此类考题的求解策略，为问题解决找到了一条快捷通道.现结合2014年辽宁省丹东市中考卷第16题谈谈笔者的做法及思考，希望能给您的教学带来一些启示.

二、试题及简析

题目如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴和y轴上，OA=，连接AB，过AB的中点C1分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别是A1、B1，连接A1B1，再过A1B1的中点C2作x轴和y轴的垂线，照此规律依次作下去，则点Cn的坐标为_________.

图1

简析：本题是一道典型的坐标系中的找规律问题，处在丹东卷填空题的最后一题，为填空“压轴题”.主要考查了三角形的中位线定理、矩形、平行四边形、相似三角形、位似、点的坐标等知识，数形结合思想、模型思想也自然渗透在试题之中.想要顺利解决本题，从题目的图形条件和文本条件中找到求点C1、C2的坐标的方法是起点，而从这两个点的坐标中挖掘出变化规律则是解题的关键.

三、试题求解历程简述

（一）剖析试题，抽取数据

1.初读图形，发现基本图形

试题分析，一般都是从文本入手.但对于坐标系中的找规律问题，笔者建议先观察图形，直观感知图形的变化规律，然后再结合文本细致分析，从而发现可能存在的变化规律.这道题目仅从图形看，所给的坐标系中存在着多种常见的“直线形”，如Rt△AOB，矩形A1OB1C1，▱A1B1BC1等.显然，我们观察图形获得了丰富的几何基本图形，研究好这些“直线形”在坐标系中所具有的性质，对接下来的解题是十分重要的.再来详细解读这道试题的文本信息，我们会有更多的发现，比如，“过AB中点C1分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别是A1、B1”可以得出A1B、C1A和C1B都是△OAB的中位线；“照此规律依次作下去”告诉我们，如果按照题中的方法继续作图，这些“直线形”和中位线会大量出现，边的关系、角的关系、基本图形的关系会依然存在.

2.文图对应，提取原始数据

在题目所给的文本信息中，一共有两个明显的数据：OA=1，OB=，除此以外，再无其他数据.由此可见，这两个数据对问题解决是至关重要的，我们应从这两个数据“生出”更多的数据.在分析试题时，我们可以先将这两个数据标注到图形中对应线段旁边.此外，我们还应将文本中的“垂直”和“中点”等信息转化为数据，如∠C1A1A=90°，AC1=BC1=AB等，一并在坐标系中标注.通过原始数据的标注，会让我们清楚题目究竟给出了哪些条件，图形中的哪些线段和角是已知的，还有哪些是未知的，它们“身在何处”.这样的分析，会让我们将题目给出的文本信息与图形信息关联在一起，避免了下一步解题时“左顾右盼”，图形将成为学生解题的直接“抓手”.

3.适度延伸，展开数据联想

根据上面发现的基本图形和标注出的原始数据，可以通过简单的推理及计算将原始数据进行适度拓展，用数据生成新的数据.如，根据直角三角形AOB和“OA=1，”，应用勾股定理可求得AB=2；根据“过AB的中点C1分别作x轴和y轴的垂线”可以推得，C1A和C1B是△OAB的中位线，所以，进一步延伸，我们还可以得到C2B2和C2A2的长分别为，此外，由线段的长我们还可以利用矩形的性质合成一些点的坐标，如等.这些新获得的数据，我们同样可以在图形的对应位置进行标注.

（二）数图关联，猜想规律

根据上面的发现，我们获得很多重要的数据，其中有些数据对解题是没有用的，有些数据是解题的核心数据，所以，必须对所获得的数据进行筛选，清除无效标注，将有效标注保留下来.本题要求的是“点Cn的坐标”，所以，数据的挑选应围绕“点C的坐标”展开，所有与点C有关的数据应进入我们的视野.根据”和题中的“垂直”这一条件，可以得出点C1的坐标为.同理可得，点C2的坐标为）.根据获得的这两个点的坐标，不难发现点Cn的坐标应由线段CnBn、CnAn的长度来确定，CnBn的长即为横坐标，而CnAn的长则是其纵坐标.根据C1B1到C2B2、C1A1到C2A2的变化规律，我们可以猜想得出.于是，猜想点Cn的坐标为

（三）检验矫正，形成通解

通过前面的探究，我们虽然已经得到了点Cn的坐标），但刚才用的是不完全归纳法，所得结果是否适合一般情况呢？这还需要得到进一步的检验或证明.在本题中，我们可以继续求点Cn的坐标并与通解进行比对，如在求得点C）后，我们取n=3代入到Cn的坐标公式）中得到，两条路径结果一致，所以点Cn的坐标公式应该是正确的.当然，为了让结果的可信度再高一些，我们还可以继续取一些点通过计算与代入进行比对，当结果多次一致时，就可以确定我们猜想的结果是符合题意的，是正确的.当然，也会出现结果不一致的情况，这时就要对原来的推理与计算过程进行矫正，直至完全一致为止.要注意的是，本题除了这种检验方法外，我们还可以从几何论证的角度对结果进行证明，根据中位线的性质，我们可以得出…，所以，.同理可得，所以，Cn的坐标是）.这一结果与我们前面的猜想是完全一致的.

四、三点感悟

1.深挖图文信息，捕获关键数据

初中阶段的“找规律”问题，一般以探究数据的变化规律为主，这些数据的变化规律有些直接隐藏在数组之中的，也有些是暗藏在图形的变化过程之中的.当然，其中也不乏一些问题中的数据与图形是同步变化的.坐标系背景下的“找规律”就属于这类“数图同变”的问题，这类考题的变化规律既与数据有关，又与图形有关.因此，解题时应从图、文两个角度对试题进行剖析，详细解读题目给出的文本信息和图形信息，从这些信息中提取原始数据，将图形特殊位置关系中蕴藏的数据也一并挖掘出来.只有我们关注了题目最原始数据的挖掘，才能保证在问题解决过程中关键信息不缺失.此外，除了对原始数据的捕捉外，我们还应对这些数据进行适度的拓展，将由这些数据可以得到的数据同步生成.在获得这些关键数据后，我们还要将其在文本与图形上进行对应标注，为接下来的思路分析、猜想通解、检验矫正做好准备.以上面的解题分析为例，”是原始数据，根据这两个数据和题中的其他条件，我们还得到了等数据，在问题解决过程中，这些数据都被恰当地标注在图形的对应位置上.有了这些数据做底，接下来的探究自然会“底气十足”了.

2.多维解读数据，合理猜想结论

规律探索，理应立足于题目数据的详细解读之上.因此，我们在剖析试题时，一般都会从文本或图形中获取大量的数据.丰富的数据生成，夯实了“规律”探索的基础.面对从题目中提取出的众多数据，该如何下手呢？笔者认为，首先，应对获得的数据进行筛选，将与结果获得明显不相干的数据直接删去，留下有用的数据.其次，重点分析具有明显先后关系的几个数据，找出这几个数据中不变的数字，比如上面的Cn的纵坐标中的我们可以将其先固定下来；对其中变化的数字，再去通过“加一加”、“减一减”、“乘一乘”、“除一除”等方法，探究前后数据之间的关系.最后，将这两者整合在一起，形成数据的变化规律.作为高中阶段要学习的数列的基础知识，现阶段的“找规律”问题一般都不会过于繁杂.只不过，问题情境较为丰富，数据要隐藏在丰富的情境之下，且隐藏得较深.比如本文所述的这类建立在坐标系中找规律问题，命题者给学生获得有效数据设置了坐标系这一情境，在数据分析时，我们除了关注图形中的线段、角度等数值的大小外，还要将这些图形放入到坐标系中全盘考虑.这样的问题情境给了学生获得有效的解题数据设置障碍，增加了问题解决的维度.所以，在对这类考题中的数据进行分析时，不仅要关注数据本身，还要关注问题情境，要将这些数据放置到现有的情境中进行“拷问”，让得出的猜想经得住情境的检验，成为合情合理的结论.

3.做好检验矫正，确保通解成真

“找规律”，“找”的过程是一个较为艰难的过程，必须经历一轮甚至多轮“猜想—验证—再猜想—再验证”的过程.有人说，“我一下子就得出了结果”，笔者认为这应该是直觉吧！这种直觉来自于长期的数学认知活动的经验积累，有时这种直觉对分析问题和解决问题是有益的，能帮助大家发现解题思路和解题方法，推动问题沿着正确的道路前进.但有时这种直觉却会成为问题解决的最大障碍，过度地依赖已有经验，会让问题解决“固步自封”，陷入困境.事实上，有时不假思索一下子就给出的结果未必是正确的结果.所以，解决“找规律”问题，我们还是应该按照一定的步骤进行.尤其是在历经“千辛万苦”获得结果后，一定要对得到的“通解”进行检验，以确保通解成真.要说明的是，对通解检验的方法是多样的.本文中所述的坐标系中的规律探究问题，我们用了两种方法进行了检验，一是进一步探究获取新的结果，再将新结果回代检验确定猜想是否正确；二是直接用几何论证的方法证明数据间前后变化规律，说明猜想是正确的.总之，对猜想结果的检验是非常重要的，只有在经历了检验发现确实无误后，才能将所得的结果定格成为通解.

五、结束语

“找规律”问题是中考应试的难点，想要顺利解答此类考题，我们就应找寻问题解决的一般方法.本文中笔者陈述这些步骤，仅是坐标系背景下的求解找规律问题的基本步骤，并不适用于所有的找规律问题.大家可以根据这里给出的方法结合其他类型的找规律问题进行再创新，使问题解决的策略个性化、普适化.最后，和大家交流一下在探究文中策略时得到的启示：认真审题是解题的起点，只有以最诚恳的态度剖析试题，从基本条件入手，将条件和结论关联起来，才有可能发现问题解决的思路；抓住数据是问题解决的关键，只有从题目中获取到核心数据，我们才能真正找到数或形变化的“规律”，才能形成有效的猜想；检验矫正是正确求解的保证，作为“小题”（指填空题、选择题）压轴题，结论的得出离不开反复推敲与细致打磨，当我们以足够的耐心和细心去面对先期的猜想，我们就会发现某些疏漏或缺失，及时的弥补将会让结果更加完美.

以上所述，一家之言，不当之处，敬请各位同行专家批评指正.