分支理论研究修正耦合KdV方程的行波解

饶 柯 李 熠

分支理论研究修正耦合KdV方程的行波解

饶 柯 李 熠

现代科学中有许多非线性现象，例如流体力学中的非线性波动，海洋中的突发海啸，这些现象大多可以借助非线性发展方程来很好的描述。1895年荷兰数学家克特韦格和德弗里斯从流力学的研究建立了描述浅水波的模型——KdV方程。为了更好的描述水波的运动过程，在本章中我们将研究耦合KdV方程，可以描述分层流体内部波之间的近共振相互作用，我们将利用分支理论的方法给出其常微分系统的形式，画出轨线图，分析解的类型，得到耦合KdV方程的解析解。

修正的耦合KdV方程

在浅水波模型中水波的传播一般由KdV方程来描述，但是在某些特定物理条件下，如在不同的水波分层中，其引起的双折射会使得水波的偏振量出现不同的群速度从而可能导致水波的展宽甚至分裂，因此如何描述这种分层流体内部之间的近共振相互作用，如何找到一种较好的解决方式，这都是我们要考虑的问题。在这种情况下，研究模型就变为耦合KdV方程，它在研究水波内部分层之间相互作用方面有着重要的应用。目前已经有很多文献研究了耦合KdV方程的解析解。1981年，Hirota提出下列耦合KdV方程用来描述水波之间的相互作用

这里α、β和b都是常数。Liu运用奇次平衡法，给定一个特定的表达式，借助符号运算，得到一系列的周期解和孤子解。在本章中，我们将考虑一个如下形式的耦合KdV方程

其中u 和v 分别是表示空间变量x 和时间变量t的函数，β是实数。通过分支理论的方法和定性分析，我们得到了新的解析解，包括尖端解，孤子解和椭圆函数周期解，同时得到新的拓展的椭圆函数解。

本文内容安排如下：我们首先给出方程（2）的常微分系统形式，并通过分支理论的方法得到六组不同的方程的轨线图。得到了同宿轨、异宿轨和周期闭轨，基于轨线图，我们将求解出方程解的具体形式。

耦合KdV方程的解析解

关于ξ对方程（4）积分一次，我们得到

这里c1是积分常数。

然后将（5）式代入（4）式，并且关于ξ积分一次，我们得到

通过合适的参数变换，可以把积分常数c2化简。

对系统经行首次积分我们得到

这里h是积分常数。现在我们讨论系统（7）的轨线图。

令M（ x0，y0）是系统（7）在平衡

点（x0，y0）和J（ x0，y0）近似矩阵的雅克比系数矩阵。显然，在（x， y）平面上，系统（7）的平衡点的横坐标的零解方程是设）是系统（7）的平衡点之一。从平面系统的分支理论我们可以得到，如果J（ x∗，0）＞0，那么平衡点（x∗，0）可以判别为中心点；如果J（ x∗，0）＜0，那么平衡点（x∗，0）的类型为鞍点。根据以上的判断，我们可以得到系统（7）的以下结论：

（1）如果q2＞4q ，p≠0且q＜0，如图一所示，平面系统（7）有两个鞍点和一个中心点系统存在两条异宿轨链接着两个鞍点，和一个周期闭轨围绕着中心点（0，0），通过轨线图我们可以知道方程（2）有一组扭结型或者是反扭结型的孤子解和一组椭圆函数周期解。

（2）如果q2＞4q ，p=0且q＜0，如图2所示，我们可以得到系统（7）有两个鞍（±-q，0）点和一个中心点（0，0）。通过轨线图我们可以知道这就意味着方程（2）存在着一组扭结型或者是反扭结型的孤子解和一组椭圆函数周期解。

（3）如果q2＞4q 且q＞0，如图3所示，系统（7）存在两个中心点）和一个鞍点（0，0）。系统存在两条同宿轨连接着鞍点O（0，0），和两条周期闭轨围绕着两个中心点，通过轨线图我们可以知道这就代表方程（2）存在两组冲击波类型的孤子解和三组椭圆函数周期解。

（4）如果q2＞4q 且q=0，如图4所示，系统（7）只有两个平衡点O（0，0）和通过分支理论和定性分析我们可以得到点O 和点P分别是鞍点和结点。这就意味着方程存在着冲击波类型的孤子解和扭结型的孤子解。

（5） 如果q2=4q，如图5所示，系统（7）有两个平衡点O（0，0）和通过分支理论和定性分析我们可以得到点P 和点O分别是鞍点和结点。同上一个情况一样，意味着方程存在着冲击波类型的孤子解和扭结型的孤子解。

（6） 如果q2＜4q，如图6所示，系统（7）只有一个平衡点O（0，0），通过轨线图我们可以知道这代表方程只存在一组孤子解。

接下来，我们将会根据上述讨论的结果，通过平面系统（7）的首次积分和椭圆函数方法来求得方程（2）的解析解。

（1）尖端解

当h=0，p2＞4q 且q=0时，我们可以从图4中看到，轨线图中存在一个异宿轨连接着鞍

完全积分且对x进行求解，我们可以的到尖端解的表达式如下所示：

当h=0且p2=4q 时，我们从图5中可以得知，同样存在一条异宿轨连接着鞍点）和尖端点O（0，0）。那么在（x， y）平面上我们可以得到其表达式为：

（2）冲击波类型的孤子解

当h=g ，q2＞4q 且q＜0时，我们可以从图一和图二中得知，轨线图上有两条异宿轨连接着两个鞍点和一组周期闭轨围绕着中心点O（0，0）。那么在（x， y）平面上我们可以得到其表达式为：

从而我们得到冲击波类型的孤子解u（ x， y ）和v（ x， y）分别如下所示：

当h=0，q2＞4q 且q＞0时，我们可以从图三中看到轨线图中存在一组对称的同宿轨线连接着鞍点O 。那么在（x， y）平面上我们可以得到同宿轨的表达式为：

接着求得x 的表达式

如图4所示，当h=0、p2＜4q 且c2=0时，方程等价于：

图1　

图2　

图3　

图4　

图5　

图6　

（3）椭圆函数周期解

当h∈（0，g ），我们从图一中可以看到，系统（7）存在一组周期闭轨。那么在（x， y）平面上我们可以得到这组周期解的表达式为：

这里

从（23）式中得

又因为x=x（ξ）和ξ=kx-ct，我们得到关于耦合KdV方程的一组周期解：

当h∈（-g ，0）时，我们从图三中可以看到轨线图中系统（7）的同宿轨中存在着两组周期

的闭轨。那么在（x， y）平面上我们可以得到这组闭轨的表达式为：

这里ν1h和ν2h和由上式所给出的ρ1h和ρ2h一样。

由上式我们可以得到

又因为x=x（ξ）和ξ=kx-ct ，我们得到一组周期解：

当h＞0时，我们从图三可以看到在同宿轨线的最外层有一组闭合的周期轨线，那么

在（x， y）平面上我们可以得到这组周期解的表达式为：

结合上式，我们得到

因此我们得到一组椭圆函数周期解

结束语

本文运用分支理论的方法和轨线图对修正的耦合KdV方程进行讨论。在不同的参数下，讨论了六种情形的轨线图，基于轨线图的性质，运用椭圆函数展开的方法，我们得到了相应的解——尖端解、冲击波解和周期解。

10.3969/j.issn.1001-8972.2015.15.001