已知参数的平板折叠桌的动态变化模型和设计加工模型

崔亚琼，康淑瑰

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

已知参数的平板折叠桌的动态变化模型和设计加工模型

崔亚琼，康淑瑰

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

在合理的假设和规定下，通过建立三维直角坐标系，本文建立了已知参数的平板折叠桌的动态变化模型和设计加工模型。

三维直角坐标系;动态变化模型;设计加工模型;开槽长度

1 问题重述

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

试建立数学模型讨论下列问题：

给定长方形平板尺寸为120 cm×50 cm×3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述图1折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）。

图1 折叠桌的动态变化图

2 问题分析

问题要求建立数学模型来描述给定参数的折叠桌打开的变化过程，并在此基础上给出这个折叠桌的设计加工参数。

为了准确地描述此过程，需要建立适当的空间直角坐标系，并选取合适的参数作为自变量来描述此折叠桌动态的变化过程。经过分析与附件中视频可知，折叠桌随最外侧桌腿缓慢展开，最外侧的桌腿与桌平面的夹角逐渐增大，内侧的桌腿与桌平面的夹角也随其变化。因此，我们选用最外侧桌腿与桌平面的夹角作为变化过程的自变量，寻找自变量与其他变量的等量关系，利用这个等量关系来对其它桌腿的动态变化过程进行数学表示，并根据等量关系求出合理的加工设计方案。在加工设计方案时，我们应考虑到桌腿与桌面边缘的加工设计、各个桌腿的开槽长度以及开槽位置。

3 模型假设与规定

3.1 模型假设

1)研究各个问题时，桌面厚度忽略不计；

2)桌腿之间的缝隙与桌腿和桌面之间缝隙忽略不计，桌腿光滑；

3)钢筋条与桌腿槽接触光滑。

3.2 模型规定

1)由于研究对象具有对称性，所以我们将其分为四个象限。在研究时，只考虑一个象限的变化过程，即能描述出整体的变化过程。所以我们以桌面圆心为坐标原点，建立三维直角坐标系，桌面以下被划分为四个部分，分别称为第一、二、三、四象限，各象限互相对称;

2)为了研究桌腿方便，规定桌腿从外侧往内侧从1开始往大数排序，最中间桌腿即为排序最大数。

4 定义及符号说明

表1 符号说明表

5 模型的建立与求解

我们将主要解决两个问题，这两个问题分别是：利用数学模型描述折叠桌的动态变化过程；给出详细的折叠桌加工设计方案。

5.1 折叠桌动态变化模型

为了建立折叠桌的动态变化模型，首先确定可以描述折叠桌变化的参数。对于折叠桌这个动态系统，它主要由桌面与桌腿组成。桌面属于静态部分，桌腿属于动态部分，所以对桌腿在整个系统当中的运动进行动态建模即可得到整个折叠桌的动态变化。为了描述桌腿的运动，我们从以下四个方面确定其运动状态。

1)钢筋条在每个桌腿上的位置Di（铰链点到钢筋条的距离）；

2)每个桌腿与桌平面夹角的αi；

3)桌腿末端水平面至桌面的距离hi；

4)每个桌腿的垂直投影长度si。

由于最外侧的桌腿钢筋位置固定，并且最外侧的整个桌腿运动轨迹呈简单的弧线型。与其他桌腿的动态变化相比，最外侧的桌腿最具有参照性，也最容易获得其变化状态。所以将最外侧桌腿的运动变化做为整个折叠桌的动态变化影响条件，而最外侧的桌腿运动变化反应在最外侧桌腿与桌平面的夹角变化。

这里我们定义最外侧桌腿为第1条桌腿，故其与桌平面的夹角为α1，如图2所示。故在此模型中将最外侧桌腿与桌平面的夹角α1做为动态变化模型的自变量，通过其建立模型确定整个折叠桌的动态变化过程。

图2 最外侧桌腿与桌平面夹角

折叠桌动态变化模型描述如下：

1）首先计算各个桌腿铰链点到其至圆心的距离为ri，第i条桌腿的长度li=L∕2-ri。

图3 桌腿铰链点到其至圆心线的距离

木板的切割方式采用如图3所示的切割方式，此与附件图中切割形式相同。首先由题设知最外侧的桌腿与圆心线（圆心线即为过圆心的直径，也就是折叠桌的中轴线）的距离r1≠0。已知木板原材料的宽为W，可求得圆桌面的半径R=W∕2，又已知每条桌腿的宽度为w，则根据勾股定理可以计算出来第i条桌腿铰链点至圆心线的距离：

第i条桌腿的长度li=L∕2-ri。求得的ri如表2所示。

2）计算桌面至钢筋条所在水平面的垂直距离H与第1条桌腿的垂直投影长度s1。

表2 桌腿铰链点至圆心线的距离与桌腿长度（cm）

钢筋条被安装在第1桌腿的中心位置。钢筋条起到连接各个桌腿的作用，这样就保证了无论在任意时刻，所有桌腿都会通过钢筋条，从正视图来看，也就是所有的桌腿都会经过钢筋条点。如图4所示。

图4 折叠桌腿变化关系

由于钢筋在最外侧桌腿的中心位置，则第1条桌腿的铰链点至钢筋点的距离 D1=l1∕2=27.5cm。那么桌面至钢筋水平面的垂直距离H=D1sinα1。第一条桌腿的垂直投影长度s1=D1cosα1。

3）第i条（i≠1）桌腿其变化规律随最外侧桌腿的变化规律。

此时，桌面到任意桌腿的钢筋水平面的距离都为H。那么，第i条（i≠1）桌腿其变化规律随最外侧桌腿的变化规律如下：

① 钢筋条在第i条桌腿上的位置Di，也就是从铰链点到钢筋条的距离：

② 第i条桌腿与桌平面夹角的αi：

③第i条桌腿末端至桌面的垂直距离hi：

④第i条桌腿的垂直投影长度si:

综上结果，对于此折叠桌，若已知最外侧桌腿与桌面的夹角和木板的长度L，即可求出以下四种状态。

a.钢筋条在第i条桌腿上的位置Di：

5.2 折叠桌加工设计模型

为了制造出符合题目要求中的折叠桌，需要将设计图纸与加工方案详细的列出。这个折叠桌的原材料为一个矩形的木板，折叠桌由桌面、桌腿和开槽三部分组成。接下来我们就分别来设计这三部分，最后给出整个折叠桌的设计图。

桌面与桌腿的设计主要是得到沿圆桌边缘线上的锯齿加工方案。只要能确定这个锯齿加工方案就能得到相应的桌面与桌腿。通过在构建动态模型的过程中，求得了桌腿铰链点至圆心线的距离ri与桌腿长度li。通过这些长度以及每条桌腿的加工宽度就能确定原材料板的加工设计。

原材料板的规格：120cm×50cm×3cm。为了简单清晰，在设计时，我们只考虑第一象限，其他象限的设计与其对称相同。由表5.1可知，桌腿铰链点至圆心线的距离ri与桌腿长度li并且桌腿宽度w=2.5cm。故得第一象限的设计图如图5所示。

图5 第一象限的桌60cm设计图

2 钢筋与开槽的设计与加工方案

按照折叠桌的设计要求，钢筋安装在最外侧桌腿的中心位置。最外侧桌腿长度l1=55cm。所以钢筋安装在距离最外侧桌腿末端27.5cm处。由图5可以得到，钢筋开槽的起始位置都距离各个桌腿末端27.5 cm，记为Bg。

在确定了开槽的起始位置之后，接下来要确定开槽的终点位置。即为折叠桌打开到的稳定位置，题目中所述的高度为53cm的位置。

根据勾股定理可以求得

为了求得其他桌腿的开槽终点位置，就需要利用钢筋条在第i条桌腿上的位置Di，即从铰链点到钢筋条的距离来确定，由公式(1)可知：

根据此公式即可计算出第i条桌腿上从铰链点到钢筋条的距离，同时也就得到了钢筋条终点位置距离第i条桌腿末端的距离Edi=li-Dii，开槽长度

表3 钢筋结束位置Edi与开槽长度CLi（cm）

CLi=Bg-Edi。结果如表3所示。

用动态模利型对开槽的长度进行分析，开槽长

图6 卡槽长度变化曲线

度由外向内逐渐减小，而且减小速依次减慢。利用Matlab 2014a Curve Fitting Tool进行数据拟合，开槽长度与桌腿的条数关系如图6所示。

6 模型检验与评价

折叠桌的动态变化模型本质上就是一个动态函数模型，折叠角度为自变量，桌腿边缘线运动轨迹为因变量，利用数学抽象分析，找出其中的函数关系，变量之间关系确定，所得的函数关系式较为合理。美中不足的是本模型设计出的桌子加工参数没有实际实验过，如果实际加工木桌肯定会发现一些问题，能够更好地改进本模型该考虑的一些因素。

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Absrtact：Under the reasonable assumptions and regulations，based on the three-dimensional Cartesian coordinate system，this paper establishes the dynamic change model and design process model to the flat folding table with known parameters.

Dynamic Change Model and Design Process Model to the Flat Folding Table with Known Parameters

CUI Ya-qiong，KANG Shu-gui
(School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009)

three-dimensional cartesian coordinate system；dynamic change model；design process model；slot length

O141.4

A

1674-0874(2015)05-0024-04

2014-07-18

国家自然科学基金项目[11271235]；山西大同大学项目[2013K5]

崔亚琼(1973-)，女，山西左云人，硕士，副教授，研究方向：非线性泛函分析。

〔责任编辑 高彩云〕