不同形状烤盘在烤箱中的热传递分析

徐明会 李媛媛

摘要：本文通过研究烤箱中烤盘的传热原理，建立二维稳态热传导方程，利用MATLAB计算仿真得到不同形状的烤盤外边缘热量的分布情况。

关键词：热量分布；热传导

烤盘在烘烤蛋糕时经历了一个相当复杂的过程。我们大致可将其分为三个阶段：首先，烤箱的电热阻丝做功放热通过热交换加热烤箱内的空气；然后，待烤箱内空气温度达到一定后，烤箱内的温度保持不变，烤盘内的食物由于内外温度不同进行热传递；最后，食物上的每一处都达到烤箱内的恒定温度后，食物将吸收热量用于产生化学反应烘焙食物。

一.模型假设

1.烤箱各向均匀同质，受热均匀，且烤箱内部温度稳定。

2.烤盘可以为介于矩形和圆形之间的形状，厚度忽略不计。这一假设将烤盘看作薄片，对于热传导方程的推导由三维热传导方程降为二维热传导方程，如下推导所示。

二.模型的建立与求解

整个烤制过程中的热传导是从食物外表面向内部传递的，由于在同一水平截面上，即位于同一烤盘相同高度截面外边缘上的每一点温度相等，所以我们可以将下述的三维热传导方程降维，成为二维热传导方程，建立模型进行求解。

根据热传学原理[1]，对于给定的物体 ，设其上的点在时刻 的温度为 ，由傅里叶热传导定律[2]可得

式中 代表热传导系数，设为 。 代表热流量， 代表 范围内的每一闭合区域， 代表时刻。再由热量守恒定律得 ，式中 代表比热容， 代表质量。结合上述的两大物理定律，可以推得稳态二维齐次热传导方程：

其中，由于烤盘各向均匀同性，所以 均为常数，所以令 。求解上述二维热稳态齐次方程，这里还需要确定初始条件和边界条件，首先给出初始条件：

这里给的 是表示点 处的初始温度值。根据诺埃曼边界使用条件，可以得出

式中，当 时，表示物体绝热。 表示 沿边界 上的单位外法线方向 的方向导数。由此可以求得烤盘中食物的任意一个点 在任何时刻所对应的温度状态，继而得到整个烤盘边缘的温度分布状态。以下利用MATLAB中的PDE工具箱绘制出矩形，圆形以及六边形三种烤盘相同条件下的温度分布情况图。

图1 矩形烤盘中食物的三维热量分布图

图中为加热指定时间后矩形烤盘中食物同一水平截面上的三维热分布情况图。图中的颜色深浅程度代表了不同的温度值。由上图可以看出，在相同的加热时间下，矩形烤盘四个角落温度最高。可以得出，温度是由外表面向内表面在传的，在传递的这段时间内，四角上的食物由于高温持续时间过长可能出现烤焦的情况。下图中的圆形烤盘热量分布均匀，烤制时不存在边缘被烤焦而中间未熟的情况。

图1 圆形烤盘中食物的三维热量分布图

图1 正六边形烤盘中食物的三维热量分布图

三、结论

本文就烤箱中不同形状的烤盘研究食物加热与热传导过程，通过建立的二维稳态热传导方程，通过MATLAB仿真即得到食物的三维热量分布图。

参考文献：

[1]朱长江，邓引斌，偏微分方程教程[M].北京：科学出版社，2007.

[2]杨世铭，陶文铨，传热学[M]，北京高等教育出版社，2010.

[3]李灿，高彦栋，黄素逸，热传导问题MATLAB数值计算[J].华中科技大学学报，2002，30（9）：90-93.

作者简介：徐明会（1993-），女，贵州遵义人，重庆交通大学本科生，专业：工程造价。