烤箱中的烤盘热量分布问题的研究

郑锦龙

【摘要】本文主要研究了烤箱中烤盘的受热分布问题，利用傅里叶热传导方程，说明对不同形状的烤盘，其受热分布不同.

【关键词】烤盘；傅立叶热传导方程模型；受热分布

一、引 言

当在烤箱中烘烤一个矩形的烤盘时，热量主要集中在烤盘的4个角落中.因此，在角落处的食物容易烤过了.当用一个圆形烤盘时，热量均匀地分布在整个盘子内部及其边缘处，所以，食物不易被烤过了.然而，大多数烤箱使用的烤盘形状是矩形的，其效率不是很高.为了提高烤盘的效率，在给定的假设下，本文

解决了不同形状的盘子其外部边缘的热量分布不同的问题.

二、傅里叶热传导方程模型

傅里叶热传导方程模型能够解决大多数的热传导问题.如果我们在实际问题中考虑的介质是局部空间，而不是一个完整的空间，为了得到所建立方程的精确解，需要指定u的边界条件.

1.模型的建立

在现实世界中，有很多与时间、热量相关的物理现象可以通过热传导模型进行模拟.该方法反映的是热量从高温点处向低温点处传播的一个过程.

本文中，考虑烤箱中的烤盘热量分布问题时，采用同时向各个方向传热的热传导方程.对于形状是圆形的烤盘，本文在建立数学模型时还考虑到了它的Dirichlet边界条件：

并使用MATLAB求解了这一模型，获得理想的结果.首先，列出不同形状的烤盘的热量分布，如矩形烤盘方案（图1），圆形烤盘方案（图2），以及圆角矩形烤盘方案（图3）和椭圆烤盘方案（图4）.这些图片表明，不同烘烤方案中的外部的温度（接近圆角和边缘）比内部的高.

根据上述四种不同形状的烤盘的热量分布图，可以得出结论，烤盘的形状越接近于圆形，热分布越均匀.在烤盘面积一定的情况下，圆形，椭圆形和圆角矩形，矩形的烤盘热量分布的均匀程度依次减小.此外，圆角矩形的热量均匀分布程度与圆心角成正比.

2.模型的分析

对于该问题，本文首先通过找出不同形状的烤盘的外接圆，再以此圆心画圆，假设当第二次得到的圆的半径r与外接圆半径R之比为0.9时，烤盘去除角落部分后热量分布均匀.其次，通过计算机进行仿真，并利用MATLAB软件的画图功能画出了不同形状的盘子的边缘受热分布图，发现其大致规律均为各个角落处温度较高，盘子形状越接近圆形其受热越均匀.

【参考文献】

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学建模第3版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]李萍，张薇.MATLAB在求解温度场中的应用[J].科技创新与应用，2005，27（3）：32-35.

[3]邱志昌，程龙，张宇.关于最佳形状选择的研究[J].科技创新导报，2013，8：86-89.