烤箱中的烤盘热量分布问题的研究

2016-05-14 11:39郑锦龙
数学学习与研究 2016年7期
关键词:烤盘

郑锦龙

【摘要】本文主要研究了烤箱中烤盘的受热分布问题,利用傅里叶热传导方程,说明对不同形状的烤盘,其受热分布不同.

【关键词】烤盘;傅立叶热传导方程模型;受热分布

一、引 言

当在烤箱中烘烤一个矩形的烤盘时,热量主要集中在烤盘的4个角落中.因此,在角落处的食物容易烤过了.当用一个圆形烤盘时,热量均匀地分布在整个盘子内部及其边缘处,所以,食物不易被烤过了.然而,大多数烤箱使用的烤盘形状是矩形的,其效率不是很高.为了提高烤盘的效率,在给定的假设下,本文

解决了不同形状的盘子其外部边缘的热量分布不同的问题.

二、傅里叶热传导方程模型

傅里叶热传导方程模型能够解决大多数的热传导问题.如果我们在实际问题中考虑的介质是局部空间,而不是一个完整的空间,为了得到所建立方程的精确解,需要指定u的边界条件.

1.模型的建立

在现实世界中,有很多与时间、热量相关的物理现象可以通过热传导模型进行模拟.该方法反映的是热量从高温点处向低温点处传播的一个过程.

本文中,考虑烤箱中的烤盘热量分布问题时,采用同时向各个方向传热的热传导方程.对于形状是圆形的烤盘,本文在建立数学模型时还考虑到了它的Dirichlet边界条件:

并使用MATLAB求解了这一模型,获得理想的结果.首先,列出不同形状的烤盘的热量分布,如矩形烤盘方案(图1),圆形烤盘方案(图2),以及圆角矩形烤盘方案(图3)和椭圆烤盘方案(图4).这些图片表明,不同烘烤方案中的外部的温度(接近圆角和边缘)比内部的高.

根据上述四种不同形状的烤盘的热量分布图,可以得出结论,烤盘的形状越接近于圆形,热分布越均匀.在烤盘面积一定的情况下,圆形,椭圆形和圆角矩形,矩形的烤盘热量分布的均匀程度依次减小.此外,圆角矩形的热量均匀分布程度与圆心角成正比.

2.模型的分析

对于该问题,本文首先通过找出不同形状的烤盘的外接圆,再以此圆心画圆,假设当第二次得到的圆的半径r与外接圆半径R之比为0.9时,烤盘去除角落部分后热量分布均匀.其次,通过计算机进行仿真,并利用MATLAB软件的画图功能画出了不同形状的盘子的边缘受热分布图,发现其大致规律均为各个角落处温度较高,盘子形状越接近圆形其受热越均匀.

【参考文献】

[1]姜启源,谢金星,叶俊.数学建模第3版[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2]李萍,张薇.MATLAB在求解温度场中的应用[J].科技创新与应用,2005,27(3):32-35.

[3]邱志昌,程龙,张宇.关于最佳形状选择的研究[J].科技创新导报,2013,8:86-89.

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