社会扩大再生产的“纳什讨价还价解”

陶为群

摘要：马克思社会再生产公式是一个宏观经济模型，其解的一种模式表示社会扩大再生产的具体安排。在市场经济条件下，可以基于市场经济中两大部类具有平等的主体地位，以及每个部类使预付资本不断地增殖的内在要求，构建扩大再生产中两个部类的合作博弈机制。在这个机制和资本积累均衡条件约束下，两大部类作为“局中人”可以各自为了实现本部类利益进行合作博弈，形成“两人讨价还价”过程，最终产生全社会资本积累均衡的“纳什讨价还价解”，实现社会扩大再生产。

关键词：扩大再生产；求解；实现机制；合作博弈；“纳什讨价还价解”

中图分类号：F014.4 文献标识码：A 文章编号：1005-2674（2015）05-021-06

一、社会扩大再生产的求解与实现机制的关系

马克思社会再生产理论在两大部类社会再生产公式中得到集中体现。社会再生产公式是一个宏观经济模型，对于国民经济运行有重要的理论指导意义。长期以来，尽管有很多研究都涉及到社会再生产模型，但这些文献并没有给出其严谨的构建和求解方法。马克思《资本论》也只是以举例形式给出扩大再生产公式形式及其个别解，这种办法被普遍使用。《资本论》中的数例是以一个部类的积累为主导的，即是先确定一个部类的资本积累，再根据扩大再生产均衡条件的要求，相应确定另一个部类的资本积累。笔者对这种以一个部类的资本积累为主导的模型进行了重构，并严格地给出了马克思扩大再生产公式有解的充分必要条件和一般求解方法。但是，在市场经济条件下，两个部类具有平等的主体地位，因此，这种以一个部类的资本积累为主导的社会扩大再生产公式在理论上仍存在缺陷。

正如《资本论》中的数例所示，扩大再生产公式的一种解的模式，表示着社会扩大再生产的一种具体安排。那么，社会扩大再生产公式的一般解的模式表示着社会扩大再生产的一般实现方法。在一般实现方法的背后，还有深层次的实现机制问题。那么，以一个部类的资本积累为主导的扩大再生产是基于什么样的实现机制？在计划经济的体制下，这个问题比较容易回答：可以由计划机制来决定哪一个部类的资本积累为主导。在扩大再生产公式有解的充分必要条件下，可以通过两个部类都服从全社会的计划安排，先确定一个部类的资本积累为主导，再根据扩大再生产均衡条件的要求，相应确定另一个部类的资本积累，从而获得扩大再生产的一种解的模式。但是，在市场经济的体制下，两个部类都是平等的市场主体，不存在某种权威安排来决定一个部類的资本积累为主导。因此，以一个部类的资本积累为主导的社会扩大再生产，就缺少了深层次的实现机制的支撑，严格地讲不大适用于市场经济条件下的扩大再生产问题。所以，必须基于市场经济条件，提出一种新的扩大再生产实现机制，并且以这个实现机制作为支撑，获得新的实现模式，即一般解形式。

二、两大部类扩大再生产的资本积累均衡方程

马克思再生产理论中，由于有生产资料、消费资料两个部类，因而扩大再生产需要两个部类的资本积累保持均衡。已有文献的社会扩大再生产模式，大多是基于两个部类的资本积累均衡方程，确定两个部类资本积累之间的相互依赖、相互匹配关系，进而通过优先确定一个部类（一般是生产资料部类）的资本积累，相应再确定另一个部类产的资本积累，实现资本积累均衡。然而，这类文献没有考虑到两部类平等的主体地位关系。但是，无论以什么样的机制实现扩大再生产，其模式都必须满足两个部类的资本积累均衡方程。

两个部类的资本积累均衡方程，是从马克思再生产公式导出的。社会生产部门划分成生产生产资料和生产消费资料的两个部类，分别记为第1、Ⅱ部类。第j部类（j=I，Ⅱ，下同）在年初时点的总资本分解成用于购买生产资料的不变资本、购买劳动力的可变资本两个部分，分别记为 。遵照经典的马克思再生产公式，即假定： 和 都是每年周转一次；当年 作为中间消耗转移到产品当中， 在产品当中新创造出来，并带来它的剩余价值 ；以第j部类产品中消耗的不变资本对于可变资本的固定不变倍数 来表示该部类的资本有机构成；剩余价值 与可变资本 之间保持固定不变的比率（即不变的剩余价值率），该比率记为 ；以 分别表示第 部类新创造价值、总产值。那么按照经典的马克思再生产公式，在每个部类内部，不变资本、可变资本、剩余产品、新创造价值（产品）、总产值（产品）之间的关系由下面的定义方程来确定。

式（1） -式（5）合在一起，就是完整的再生产公式。其中，式（l）是定义方程；式（2）、式（3）是行为方程；式（4）、式（5）是均衡条件，就是政治经济学教科书中指出的社会再生产的实现条件。 实现社会再生产就是从再生产公式中获得一组待定变量 的解。把行为方程式（2）代入式（4）或和式（5），可得到一个相同的结果，即：

这说明，由于再生产公式中存在着行为方程式（2），因而均衡条件式（4）和式（5）只有一个是独立的。式（6）是社会再生产的两大部类不变资本积累均衡条件，而变资本积累均衡条件对应着全部资本积累均衡条件。所以，式（6）是社会再生产的两大部类资本积累均衡方程。

根据式（2）、式（3）和 ，得到待定变量 和 的约束条件：

扩大再生产是指在至少每个部类的资本都不减少的前提下，社会总资本的扩大。根据式（1）表明的每个部类的不变资本与总资本的固定关系，有：

和

已有研究根据扩大再生产资本积累的约束条件式（7）、式（8）、式（9）以及资本积累均衡方程式（6），证明了两大部类扩大再生产的充分必要条件是：

已有的社会扩大再生产公式的一般求解方法，是以资本积累均衡方程式（6）中两个待定变量 中的一个作为自变量，另一个作为这个自变量的函数，并给出自变量的定义域，从而获得资本积累均衡方程式（6）的解，也就是两大部类扩大再生产的解。当选择以 作为自变量，从式（6）将ACn解出作为△C l的函数，扩大再生产的解是：

其中自变量 的定义域是： 当选择以ACn作为自变量，从式（6）将 解出作为 的函数，扩大再生产的解是：

其中自变量ACn的定义域是：

式（11）与式（12）以及式（13）与式（14）都是资本积累均衡方程式（6）的解函数，并且互为反函数。事实上直至目前，政治经济学教科书以及有关的研究文献中，都是依照这样的函数关系，确定扩大再生产的不变资本积累 与 之间的一个匹配。譬如《资本论》第二卷第二十一章中关于扩大再生产的两个举例， 都是先确定 再确定 。可以验证，这些文献中不变资本的积累都满足式（11）与式（12）给出的解函数。式（12）和式（14）中，自变量 的定义域的左端点是自变量的最小值，分别以min（ ）和min（ ）表示。

三、社会扩大再生产的两大部类合作博弈机制和“讨价还价”

社会扩大再生产是有资本积累的再生产。在市场经济中，每个部类都期望本部类的预付资本不断地增殖，不可能舍弃本部类的资本积累去成全另一个部类的资本积累。所以，实现社会扩大再生产必然是两个部类都形成资本积累。那么.这里就存在着每个部类都形成资本积累的数量多少怎样确定的问题。很自然，每个部类都期望本部类的尽可能多一些。而根据资本积累均衡方程式（6），两个部类的不变资本积累是此长彼消的，因此，两个部类对于不变资本积累形成博弈关系。根据式（1）和式（3），每个部类的不变资本、全部资本积累具有固定比例关系，所以，两个部类对于全部资本積累形成博弈关系。同时，由于两个部类的不变资本积累必须满足资本积累均衡方程式（6），才能够实现本部类的资本积累，这意味着一个部类的资本积累必须获得另一个部类的认可才能够得到实现，所以，作为博弈双方的两个部类又必须合作才能够实现自身利益。于是，两个部类关于资本积累形成合作博弈机制。

利益分配是博弈中的一个基本概念。按照马克思再生产理论，资本积累均衡方程式（6）表明了，（

）是能够被两个部类作为不变资本积累 的全部生产资料资源。每个部类从中获得的数量越多，本部类的不变资本积累和全部资本积累就越多，从再生产中可以获得的利益也越大。所以，由资本积累均衡方程式（6）直接确定了（ ）成为利益分配的具体对象。同时，由于两个部类的积累必须满足资本积累均衡方程式（6）才能够实现，这意味着一个部类的积累率必须获得另一个部类的认可才能够得到实现。所以，当一个部类向另一个部类提出自身的期望的不变资本积累，实质上是就本部类根据可分配利益（ ）中所占数量，而向另一个部类所提出的“要价”。如果另一个部类认可这一“要价”，就得按照资本积累均衡方程式（6），将（ ）扣除对方的期望的不变资本积累后作为自身的不变资本积累，于是一方的“要价”经过认可也成为对方的“出价”，两个部类关于（ ）的利益分配最终成交。如果另一个部类不认可这一“要价”，就得反过来提出本部类的期望不变资本积累，实质上是就可分配利益（ ）又向对方提出“要价”。如此过程进行下去，两个部类成为合作博弈中的两个“局中人”，合作博弈形成“两人讨价还价问题”。

“两人讨价还价问题”中有一个重要的概念是谈判破裂点。一方的谈判破裂点指本方即使放弃谈判和争取利益也应当获得的利益分配。由于两个部类利益分配的具体对象（YI -CⅡ）数量在当年是既定的，根据资本积累均衡方程式（6），需要被两个部类作为不变资本积累 全部分配掉，才能够实现社会再生产。而每个部类的不变资本积累受到剩余价值数量的限制，所以，在（ ）数量较多的情形下，就需要另一个部类的不变资本积累达到最低数量，才可能使资本积累均衡方程式（6）得到满足。而在（ ）数量较少的情形下，即使另一个部类不形成不变资本积累（不变资本积累为零），也能够使资本积累均衡方程式（6）得到满足。这里，把（ ）数量较多、较少两种不同情形下，资本积累均衡方程式（6）需要每个部类达到的不变资本积累的最低数量，统一以min（ACl）和min（ACⅡ）表示。那么，min（ ）和min（ ）分别是第1、Ⅱ部类作为局中人，在关于（ ）的利益分配合作博弈中必须获得的最低数量，也就是谈判破裂点。而假如分别优先考虑第1、Ⅱ部类的不变资本积累，那么min（ ）和min（ ）就分别是第1、Ⅱ部类的不变资本积累自变量 的定义域下限。所以，不等式（12）、（14）所表明的变量 、 取值区间的左端点分别就是min（ ）和min（ ），它们是由每个部类资本积累的约束条件式（7）和式（8）以及资本积累均衡方程式（6）共同决定的。当然，也可以根据式（12）和式（14）写出min（ ）和min（ ）的具体表达式，这里从略。

在“讨价还价问题”中，一方的效用是与利益分配有联系又有区别的概念，通常效用是利益分配的函数。这里以第j部类新增的新创造产品（价值） 一般地代表该部类的效用；由于每个部类内部各部分的相互关系固定不变，效用最大化与利润最大化具有等价性。第j部类的期望效用 与新增不变资本 间的关系与式（1）表明的 与 的关系相同。所以，第j部类的效用是：

四、社会扩大再生产的“纳什讨价还价解”

对于合作博弈的“两人讨价还价问题”，早已有著名的“纳什讨价还价解”。这就是对于一个“两人讨价还价问题”，在由个体理性、帕累托强有效性、对称性、等价盈利描述的不变性、无关选择的独立性五个公理组成的“纳什公理”下，存在满足“纳什公理”的唯一讨价还价解，它是使“纳什积”达到最大的解。对于两大部类扩大再生产的“两人讨价还价问题”，“纳什积”是：

因此，这个“两人讨价还价问题”的目标函数是：

无论怎样讨价还价，式（17）中的待定变量 必须满足约束条件式（7）、式（8）和式（9）。所以，待定变量 的取值区间分别由不等式（12）和不等式（14）确定；（ ）的取值区间仍然被必要条件式（10）确定。这个约束最优化问题的唯一解 就是两大部类扩大再生产的“纳什讨价还价解”。

用拉格朗日乘数法求解含有资本积累均衡约束条件式（6）的目标函数式（17）最大值问题，获得最优解：

式（18）就是两大部类社会扩大再生产的“纳什讨价还价解”。

将已有研究结果给出的min（ ）和min（ ）的具体表达式代人式（18），可以进一步写明这个“纳什讨价还价解”的具体表达式。

五、社会扩大再生产的“纳什讨价还价解”的经济含义

扩大再生产的“纳什讨价还价解”式（18）表明，实现纳什均衡，首先要保证每个部类的不变资本积累分别达到最小值min（ ）和min（ ），然后，将为全社会不变资本积累提供全部生产资料来源的（ Cu），扣除另一个部类的最小不变资本积累之后剩余数量的一半，与一个部类的最小不变资本积累的一半相加，最终作为该部类的不变资本积累。这个结果充分体现了两大部类不变资本积累的公平性、对称性。因为，实现纳什均衡时，每个部类的不变资本积累与全部资本积累的比例保持固定不变，所以，这个结果同时充分体现了两大部类全部资本积累的公平性、对称性。

在以一个部类的资本积累为主导的社会扩大再生产的解式（13）与式（14），或者式（15）与式（16）当中，将起主导作用的那个部类的不变资本积累作為自变量，设自变量可以在一定范围内取不同的数值，但这类模式缺乏说明存在着某种机制来决定自变量取哪一个具体数值。除非在计划经济体制下，可以由计划机制来决定自变量的具体数值。如果在式（13）中将自变量ACi按照“纳什讨价还价解”式（18）当中的 来取值，那么因变量 得到的具体数值就与式（18）中的 完全相同。或者在式（13）中将自变量 按照“纳什讨价还价解”式（18）中的 来取值，那么因变量 得到的具体数值就与式（18）中的 完全相同。这就说明了，社会扩大再生产的“纳什讨价还价解”，是对于一个部类的资本积累为主导的解的一种改进，这种改进使获得的解能符合市场经济的体制。

社会扩大再生产优化问题的最优解，可以以全社会新增的新创造产品最大化作为社会扩大再生产的目标函数而得到，每个部类的利益都服从于全社会的利益，是“公平服从效率”原则下的最优解。 社会扩大再生产的“纳什讨价还价解”也是一种最优解，是以“纳什积”达到最大作为目标函数而得到的，是由“纳什公理”保证了扩大再生产对于每个部类的公平性、对称性，因而可以说是“效率服从公平”原则下的最优解。

本文基于市场经济条件下两大部类的平等地位关系，提出了在扩大再生产的两个部类合作博弈机制。在合作博弈机制和资本积累均衡条件约束下，两个部类作为“局中人”为了各自实现本部类利益，形成“两人讨价还价”过程，最终获得资本积累均衡的“纳什讨价还价解”，实现社会扩大再生产。这是对已有文献从一个部类的资本积累为主导来构建扩大再生产模式方法的一个改进。