注重一题多解，培养学生思维

徐小荭

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0153-01

空间几何的证明和计算是中学数学的重要组成部分，如果思路没打开，可能很简单的题也解决不了。现以下题为例来剖析空间几何的思路。

如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE.

（1）若AF是△ABE的中线，且AF=5，AE=6，连结DF，求DF的长；

（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G.如图2，若点E是AC边的中点，连结EG，求证：AG+EG=BE.

一、边读题边得出所有结论，得到的结论信息越多，思路越开阔，同时思考计算结果或证明结果的得出需要哪些条件，再一一寻找，找到切合点，便轻松解决问题。例如上题中的第（1）题：

二、注重一题多解，拓展学生思路。如证明两条线段的和等于第三条线段，常用方法：截长法或补短法，以第（2）小题为例

方法1：（截长法）记AD、BE相交于O，如图2（a）

∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC

∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°

∠2=90°-∠3

∵AF為△ABE的高

∴∠1=90°-∠3

∴∠1=∠2

在△ABO和△CAG中∠2=∠1AB=AC∠BAD=∠C

∴△ABO≌△CAG.（ASA）

∴BO=AG，AO=CG.

∵点E为AC的中点

∴AE=CE

在△AOE和△CGE中AE=CE∠CAD=∠CAO=CG

∴△CEG≌△AEO.（SAS）

∴EG=OE.

∴AG+EG=BO+OE=BE

方法2：（截长法）记AD、BE相交于O，连结DE，如图2（b）

先证△BDO≌△ADG.（ASA）

∴BO=AG，DO=DG.

再证△ODE≌△GDE.（SAS）

∴EG=OE.

∴AG+EG=BO+OE=BE

方法3：（补短法，抓易证条件∠ABE=∠CAG及已知条件AB=AC，利用“SAS”构造全等三角形）

延长AG到点M，使AM=BE，连结CM，如图2（c）

先证△ABE≌△CAM.（SAS）

∴AE=CM=CE，∠ACM=∠BAE=90°.

再证△CEG≌△CMG.（SAS）

∴EG=MG.

∴AG+EG=AG+MG=AM=BE

方法4：（补短法，抓易证条件∠ABE=∠CAG及已知条件AB=AC， 利用“ASA”构造全等三角形）

过点C作AC的垂线，交AG的延长线于点M，如图2（c）

先证△ABE≌△CAM.（ASA）

∴BE=AM，AE=CM=CE.

再证△CEG≌△CMG.（SAS）

∴EG=MG.

∴AG+EG=AG+MG=AM=BE

方法5：（补短法，抓易证条件∠GAD=∠EBD及AD=BD，利用“SAS”构造全等三角形）

延长AG到点M，使AM=BE，连结DM ，如图2（d）

先证△DBE≌△DAM.（SAS）

∴DE=DM，∠BDE=∠ADM.

再证△DEG≌△DMG.（SAS）

∴EG=MG.

∴AG+EG=AG+MG=AM=BE

方法6： （补短法，抓易证条件∠GAD=∠EBD及AD=BD，利用“ASA”构造全等三角形）

过点D作DE的垂线，交AG的延长线于点M ，如图2（d）

先证△DBE≌△DAM.（ASA）

∴DE=DM，BE=AM.

再证△DEG≌△DMG.（SAS）

∴EG=MG.

∴AG+EG=AG+MG=AM=BE

一题多解有利于启迪思维，开阔视野，提高思维的敏捷性、灵活性和深刻性；有利于学生灵活运用所学知识，提高解题能力和技巧；有利于培养学生的探索精神和思维的创造性。