后方交会技术在实际工作中的应用

商 博

（河南省水利勘测有限公司，河南 郑州 450003）

·矿业与水利工程·

后方交会技术在实际工作中的应用

商 博

（河南省水利勘测有限公司，河南 郑州 450003）

本文分析了采用正弦定理解算三角形时出现无解和两解的情况，并从现场实际情况得出结论，凡是现场构成三角形的情况，采用正弦定理解算，除非测量数据有误，都会有解，不会出现无解的情况。对边角后方交会出现无解和多解的情况进行了分析，提出了解决问题的办法。

边角后方交会；坐标改正；正弦定律（Sine law）；半角公式；布设控制点

1　后方交会的方法和技术流程

后方交会按测量方法划分可分为测角后方交会、测边后方交会和边角后方交会。按多余条件数划分，可分为没有多余条件的后方交会、有一个多余条件的后方交会和有两个多余条件的后方交会。

1.1测角后方交会

测角后方交会是传统的后方交会。即在未知点上摆站，分别观测三个以上已知点的方向角值，即可求出未知点p的平面坐标。如果多观测一个方向，则可计算出另一套p点坐标，通常情况下，观测4个方向。

1.2测边后方交会

测边后方交会实际就是测边三角形，因目前多有全站仪测量，实际中单纯测边三角形较少，边角后方交会较多。测边后方交会至少需要观测两个已知点的距离。

1.3边角后方交会

边角后方交会实际中应用较多，至少需要两个已知点，观测一边一角就可以计算出p点的坐标。但有时会出现两个解。观测三个以上已知点的边角后方交会，精度可以明显提高，但计算较为复杂。目前多数是观测两个已知点，再观测一个已知点作为方向检查。

2　三角学中关于已知两边和其中一边对角的三角形解的结论

在三角学中，还特别注明：采用正弦定理解三角形时，要先进行解的讨论。在两个已知点，观测一边、一角时，恰好必须采用正弦定理。有许多测量人员对于上述结论感到为难，在全站仪自带程序中，就不利用此方法。

有些施工单位为了简单、方便，编程时就采用了a＞b时只有一解的情况，在图3-1中，必须使AP＜AB。

图1　三角形解的结论

3　采用正弦定理解三角形出现无解的问题

3.1正弦定理解算三角形出现无解的三种情形

表1　两边和其中一边对角的三角形解的结论

由于三角学中有用正弦定理解算三角形会出现无解的结论，使得采用边角后方交会的测量人员产生很大的顾忌，什么情况下会出现无解？以下来讨论正弦定理解算三角形出现无解的三种情形：

当∠A≥90º时，若a=b，无解。这种情况是：当∠A≥90º时，因三角形内角和等于180º，∠A为该三角形中的最大角，在三角形中，有一个公理：大边对大角或大角对大边。那么大角∠A所对的边a必大于其他边，出现a=b的现象是不可能的。因此出现了这种情况，违反了大角对大边的公理，此时三角形无解。

当A≥90º时，若a＜b，无解。同理，当A≥90º时，若a＜b时，三角形不可能有解。当A＜90º时，若a＜b.Sin A时，无解。此种情况的结果如图2。

图2　三角形解的结论

若a＜b.Sin A，按照正弦定理.Sin B=b.Sin A/a按照本式求出的SinB大于1，这是违背常理的，因此，此时三角形无解。综上所述，所谓用正弦定理结算三角形无解的情况是：所给的条件不能组成三角形，因此解算三角形无解。

3.2现场测量时会不会出现无解的情况

在现场测量时，现场已知点与交会点构成的三角形是客观存在的三角形，不会存在构不成三角形的情况。如果构不成三角形，测量人员根本不会去测。因此，凡是现场构成三角形的情况，采用正弦定理解算，除非测量数据有误，都会有解，不会出现无解的情况［1］。

3.3采用正弦定理出现两解情况的讨论

3.3.1出现两解的情况是经常发生的，原因如下：采用正弦定理的基本公式为：

图3　采用正弦定理出现两解情况的讨论

因此，利用正弦定理求出的B角就可能为锐角或钝角，即：B角有可能是锐角B或钝角（180º-B），目前溪洛渡水电站各施工单位所编程序中求出的都是锐角，程序在应用时要求的条件是：观测边小于两个已知点之间的长度。这限制了边角后方交会应用。

3.3.2实际中产生两解的图形

图4　采用正弦定理出现两解情况的讨论

图4中，△ABP为实地的三角形，P点为后方交会点，∠ABP为钝角（大于90º），采用公式

计算出的∠B小于90º，按照此计算角计算出的坐标为图中的P′坐标，而非P点坐标。产生这样后果的原因从图中可以看出，过A、B、P作一辅助园，从A点量出AP，以A为圆心，以AP长为半径，划弧与园ABP相交于另一点P′，那么△ABP′完全符合观测条件：

因此，在有两个已知点，观测一边一角的情况下，会产生两个解。

3.4实践中怎样解决两解的问题

边角后方交会中，如采用正弦定理解算三角形，就会有两个解。实际中只有一个解是符合现场地形的，那么怎么选择其中的一个呢？

目前常用的方法是在选择P点位置时，保证观测边小于两个已知点之间的长度。即如图中所示的现场选点时，保证在此情况下，∠B必为锐角。

道理是这样的，如果PA＜AB，则根据三角形中大边对大角的公理，则∠P必大于∠A，如果∠B大于90º，则∠P更大于90º，一个△内不可能出现两个钝角，因此∠B必为锐角。现场判断，如∠P为钝角，则∠B必为锐角。多测一条边，利用三边解三角形，求出的角度是唯一的，不会出现两解的情况。

4　工程实例和试验分析

4.1在已知点和后视点不通视时的测量中的应用

在工程测量中，我们经常遇到已知点和后视点中间有障碍物遮挡，互不通视的情况。南水北调中线定线测量中就经常遇到这样的情形，现场没有其他的控制点，到别处引点需要几公里甚至十几公里，造成了很多麻烦。这时我就采用了在两点之间选择一个新的点，新点与原来的两个点通视。用边角后方交会的方法在现场计算出新点的坐标。根据新点的坐标和反算出的新点到原有点的方位角，即可进行导线、放样等测量，发挥了很好的作用。

4.2在一般地形测量的图根控制中的应用

地形测量的图根控制点一般要求精度不高，在控制点相对较少且施测区域距离控制点较远时，可以采用两点边角后方交会来完成图根控制点的布设，可同时观测到多个控制点时，可采用多点后方交会布设图根控制点，测图效率大大提高。

4.3在竖井测量中的应用

在井下导线测量中，由于井下狭窄黑暗，导线测量十分困难，加之设备车辆运输等诸多干扰因素，或使导线点无法安置仪器，或者点与点间因障碍物存在而不通视等原因使作业时无法按常规方法及时导线测量，采用交会传递方法测量方法介绍如下：

在两个已知点附近安置仪器，直接整平安置仪器，观测有关角度及边长。如图5所示，

图5　井下导线测量

A、B为已知导线点，按正常的导线测量，仪器安置在B点观测一个水平角和一条边，即可求出D点坐标。但因B点无法架设仪器，此时在B点附近任意点安置仪器整平后进行观测a、b、β及S，或观测a、β、a、S，即可求解D点坐标。

图6　井下导线测量

上图视井下施工测量经常遇到的实际问题。水平巷道布设导线点A、B，在天井施工中必须建立一控制点D，按常规的方法，需施测两站导线才能求得D点坐标。为了减少测站数，加快施工导线的前进速度，可采用边角交会的方法。其计算待求点D的方法如下：首先根据各观测元素按交会的方法推算C点的坐标，根据导线的方法计算D点坐标，推算公式略。

为了确定最佳图形，在选点时应使β、a均在90°附近，且b边的边长越长越有利。

4.4在大坝混凝土浇筑时的控制与放样测量中的应用

三峡二期工程泄洪坝段共分22个坝段，高程从20米到185米，结构复杂，各种埋件精度要求高，由于采用了塔带机等新型浇筑设备，施工强度大，施工进度快，传统的放样方法已经不能满足施工要求。经过探索，葛洲坝测绘总队应用和推广了边角后方交会技术。具体方法如下：

首先在大坝上下游围堰上加密一定数量的施工控制点，保证在大坝上每个部位都有足够的控制点可以观测，其次在作业时，派一名作业人员在控制点上设置基座棱镜，大坝上各个仓位的测量员直接测定边长和高差，并且以该点为起始方向，测定到另外两个较远控制点的水平角。然后根据观测值计出两组坐标，比较差值后取平均值作为测站点坐标，设站时用第四方向作为后视，检查镜站坐标无误后开始仓内测量放样。

5　结语

边角后方交会的出现首先是生产的需要，后方交会在现实的工作中被广泛的应用，灵活的运用可以大大的提高工作效率，收到更好的经济效益。

［1］贺国宏.桥隧控制测量［M］.北京：人民交通出版社，1998.

Application of Resection Techniquein Practical Work

Shang Bo
（Henan Provincial Water Conservancy Survey Co.Ltd.，Zhengzhou Henan 450003）

This paper analyzes the situation of no solution and two solutions appeared when using sine theorem for the calculation of triangles，and draws conclusions from the actual situation at the scene，the scene usually constitute a triangle，the sine theorem of the solution，that unless there is an error in the measured data，there will be a solution when calculated by sine theorem.The situations of side angle resection without solutions and multiple solutions are analyzed，and a solution to the problem is put forward.

side angle resection；coordinate correction；sine law；half angle formula；layout control point

P231.5

A

1003-5168（2015）12-0057-3

2015-12-5

商博（1980.9-），男，研究方向：GPS卫星定位技术在实际工作中的应用及工作中注意的问题。