复M onge-Ampère方程Neumann边值问题解的梯度估计①

向妮，王玉娥，石菊花

(湖北大学数学与统计学院，湖北 武汉 430062)

0 引言

复Monge-Ampère方程的研究问题源于多重位势理论、微分几何中的Calabi猜想和物理学等，该问题涉及多复变、微分几何以及完全非线性偏微分方程等重要研究领域.该方程的Dirichlet边值问题已有相当丰富的研究成果，而对于其Neumann边值问题，李松鹰[1]得到了解的存在性、唯一性和正则性.对实Monge-Ampère方程的Neumann边值问题，Lions等[2]证明了解的存在性，他们的证明中关于解的梯度估计由解的凸性就很容易得到.2014年，徐金菊[3]证明实Monge-Ampère方程的Neumann边值问题梯度估计过程中也应用了解的凸性，然而对复情形而言，多重下调和函数没有凸函数这样的性质，因此解的梯度估计与二阶导数估计难度相同，并且文献[3]中的办法并不适用.笔者将在后续工作中，努力改进文献[3]中的办法讨论复Monge-Ampère方程Neumann边值问题的梯度估计.

在文献[1]中，作者直接证明了解的梯度估计.根据文献[2]中的办法，将整体约化到边界，再分3种情形讨论，直接得到解的梯度估计.而本文中，我们给出解的梯度估计一个新证明，先假设梯度估计存在，按照李松鹰[1]的思路重写二阶导数估计的证明，得到梯度估计与二阶导数估计的关系，再利用插值不等式得到解的全局梯度估计.我们研究复Monge-Ampère方程的Neumann边值问题：

其中Ω是Cn中有界光滑强拟凸域，ν为边界外法向量，γ0＞0，f≥f0＞0，f∈C2(Ω)，ϕ∈C2(∂Ω).另外，取λ1(z)为∂Ω上曲率，记λ1=inf{λ1(z),z∈∂Ω}.

定理1Ω是Cn中有界光滑强拟凸域是边值问题(0.1)式与(0.2)式的多重下调和解.f≥f0＞0，f∈C2(Ω)，ϕ∈C2(∂Ω)且γ0+2λ1＞0，γ0＞0，则

其中C与相关 .

1 最大模估计与二阶导数估计

其中Ω是Cn中的有界光滑强拟凸域，ν为边界外法向量显然可得

1.1 最大模估计为了文章的完整性，我们引用文献[1]中关于最大模估计的结论：

引理1.1Ω是Cn中的有界强拟凸域，边界是C1的，假设是(0.1)式与(0.2)式的多重下

其中C1仅与相关.

1.2 二阶导数估计本节中按照李松鹰在文献[1]中的办法重写二阶导数估计的证明.

定理2Ω是Cn中的有界强拟凸域，边界是C3的.假设是(1.1)与(1.2)式的多重下调和

其中C2仅与相关，与M1无关.

定理2的证明为了保证证明的完整性，我们给出证明思路.

任取一点z0∈∂Ω，由旋转和平移，可以假设z0=0，则在0点附近的边界定义函数

由于r是严格多重下调和函数，所以(biˉˉj)是正定矩阵.下面考虑边值条件(1.2)式在全纯变换后的形式，取新的坐标满足：

在此变换下，边值条件不具备不变性.

其中T=(∂z′/∂z)是变换z′=ψ(z)对应的Jacobian矩阵且|O(|z′|2)|≤C|z′|2，取

计算可得

因为Bj=O(|z′|)且 ∂r0/∂z′j=O(|z′|),j＜n, 所以

由复Monge-Ampère方程在全纯变换下的性质可知，取则

为了方便，用z代替z′，u~代替u^，g代替g^，可知

则Neumann边值条件为：

考虑函数

1）当K1=C/ε2足够大时，在∂(B(0 ，ε)⋂Ω)上有h(z)＜0；

由1)、2)利用极大值原理可得，h只能在∂(B(0 ，ε)⋂Ω)上取得其在B(0,ε)⋂Ω上的极大值，

3）在 ∂Ω上取K1足够大，则h在0处取得极大值，因此，0≤Dνh(0)≤即

定理3Ω是Cn中的有界强拟凸域，边界是C3的是边值问题（1.1）与（1.2）式的多重下调和解且γ0+2λ1＞0，则

其中C4仅与相关，与M1无关.

定理3的证明在最大模估计和梯度估计存在的前提下，（1.5）式等价于

是多重下调和的，进一步地，可证（1.6）式等价于

考虑辅助函数

取τ为z点的切向量，ν为z点的外法向量，则通过下面的计算可知其中b(z)，ak(z)均为Ω上的光滑函数.

V(z，ξ)作为(z，ξ)的函数应满足：

由V(z,ξ)的表达式可知，

下面分3种情况讨论：

a）若ξ0是边界上z0处的外法向量，则由定理3可知Dξ0ξ0u~≤C，则W(z0，ξ0)≤C2，从而可知，

b）若ξ0在z0点既不是切向量也不是法向量，则

其中ξ0=＜ξ0,τ＞τ+＜ξ0,ν＞ν且＜τ,ν＞=0.于是由（a）知（1.7）式成立.

c）若ξ0是边界上z0点处的切向量，则

取

不失一般性，假设z0∈∂Ω点处外法向量是(0,…,0,1)，则由于r是Ω上的强多重下调和定义函数且在∂Ω上故H(z0,r)≥λ1Ⅰ2n-1且

(H(z0,r)-λ2(z0)Ⅰ2n-1)是非负定矩阵，故成立.因此

由a）中的结论可知，（1.7）式成立，则定理得证.

2 梯度估计

下面我们引入Gilbarg D等[4]有关Schauder理论中插值不等式引理6.35如下：

引理2.1假设j+β＜k+α,其中j=0,1,2,…,k=1,2,…,0≤α，β≤ 1，Ω是 ℝn中的Ck,α区域，假设则对任意的ε＞0 及常数C=C(ε,j,k,Ω)使得

定理2.2Ω 是 ℂn中的有界强拟凸域，边界是C3的，u∈C4(Ω)⋂C3(Ωˉ)是边值问题(1.1)与(1.2)的多重下调和解且γ0+2λ1＞0，γ0＞0，则

其中C仅与n,Ω,λ1,γ0,|ϕ|2,Ωˉ,|f|2,Ωˉ相关.

定理2.2的证明由注3及引理2.1结论，利用插值不等式可知，

[1]LiSY.Boundary value problems for complex Monge-Ampère type[D].Pittsburgh：University of Pittsburgh，1992.

[2]Lions P L，Trudinger N S ，Urbas J IE.The Neumann problem for equations of Monge-Ampère type[J].Comm Pure Appl Math，1986，39:539-563.

[3]徐金菊.平均曲率方程Neumann问题的梯度估计[D].合肥:中国科学技术大学，2014.

[4]Gilbarg D.Trudinger NS.Elliptic partial differentiale quations of second order[M].2nd ed.NewYork:Springer-Verlag，1984.

[5]Bedford，Taylor BA.The Dirichletproblem for acomplex Monge-Ampère equation[J].Invent Math ，1976，37:1-44.

[6]Bedford.Variational properties of the complex Monge-Ampère equation ，I:The Dirichlet princinple[J].Duke Math J，1978，45:375-403.

[7]Bedford.Variational properties of the complex Monge-Ampère equation，II:Intrinsic[J].A-mer JMath，1979，101:1131-1166.[8]Caffarelli L，Kohn JJ，Nirenberg L，et al.The Dirichlet problem for nonlinear second-order elliptic equations，II:Complex Monge-Ampère，and uniform ly elliptic equations[J].Comm Pure and Appl Math，1985，38:209-252.

[9]LiSY.On the Neumann problems for complex Monge-Ampère Equations[J].Indiana University Mathematics Journal，1994，43(4):1099-1122.