基于Reissner中厚板理论的矩形板的动力分析*

苏铁坚

(吉林建筑大学交通科学与工程学院，长春 130118)

对于薄板的动力分析一般采用古典的Kirchhoff-Love薄板理论，即不考虑剪切变形的影响［1］，但当板厚与长宽比值较大时，将出现很大误差;对于某些复合材料板，抗剪性能较差，应用古典的薄板理论也不合适．采用Reissner中厚板理论分析此类可以完全满足要求．因为是考虑多种变形的影响，应用传统的最小势能原理在分析计算时显得很困难，而最小余能原理的应用，为这类问题的处理提供了理想的方法．文中采用各项同性假设．

1 基本原理和方法

1．1 Reissner中厚板理论

按照Reissner中厚板理论，横向剪力Fsx，Fsy引起的变形不能略去，古典理论中板的直法线假设不再成立，同时认为板的真实位移W一般讲也不等于中面挠度w，而引入板的平均挠度w．古典理论中板的内力素分量的定义仍然采用，内力分量与平均挠度w的关系为:

式中:

为板的抗弯刚度;μ为板的泊松比，E为材料的弹性模量;δ为板厚，q(x，y)为板所受的横向面分布荷载集度［2］．

1．2 最小余能原理的基本方法

当简支板以频率ω作由振动时，设板的振型函数为

对应面分布惯性力集度为:

式中:¯m为板的面分布质量．对振型函数w要求满足中厚板的平衡方程:

及力边界条件，由振型函数，求出板的惯性内力(Mxq，Myq，Mxyq;Fsx，Fsy)．由诸内力及振型函数表示的结构总余能公式为:

式中:第一项为弯矩和扭矩的应变能，与古典理论的结果相同;第二项为横向剪力引起的应变能;第三项为正应力σx，σy与沿板厚方向的变形相互影响引起的应变能;最后一个积分为板的动能．

应用最小余能原理:

既结构总余能对广义惯性力(¯mω2A)的一阶变分为零，得出求解动力学问题的基本方程［3］．

2 简支矩形方板的固有频率

考虑边长为a的简支方板，计算固有频率．取振型函数为:

面分布惯性力集度为:

代入(3)式中，得满足动平衡方程及力边界条件的振型函数为:

式中:

如不考虑剪切变形的影响，B=1，结果与古典理论相同．由式(1)可求出惯性力引起的内力:

代入结构总余能公式中积分，只考虑弯矩和扭矩的应变能，然后对惯性力(¯mω2A)取变分，得简支方板的固有频率为:

式中:

如不考虑剪切变形的影响λ =2，与古典理论的结果相同，为问题的精确解［4］．再加入剪力、正应力σx，σy与沿板厚方向的变形相互影响引起的应变能，重复前边的运算过程，得:

式中:

这里，式(11)中分母根号里的第二项为剪力应变能项的影响，式(12)中的第二项为正应力σx，σy与沿板厚方向的变形相互影响引起的应变能项的影响．

3 Reissner中厚板理论与古典理论的比较

3．1 基本数据

不同比值下的基本数值见表1．

表1 不同比值下的基本数值(μ=0．3)

3．2 考虑弯矩、扭矩应变能项时与古典解的比较

考虑弯矩、扭转应变能项时的误差见表2．

表2 考虑弯矩、扭矩应变能项时的误差(μ=0．3) (%)

3．3 考虑弯矩、扭矩和剪力应变能项时与古典解的比较

考虑弯矩、扭矩和剪力应变能项时的误差见表3．由于考虑了剪切变形，板的总挠度增加，固有频率降低．

表3 考虑弯矩、扭矩和剪力应变能项时的误差(μ=0．3) (%)

4 结语

从以上的结果可以看出，板厚与板长(宽)的比值对计算误差的影响相当明显，当该比值大于1/10时，与古典理论的误差已经超过5%，同时看到，剪力项的影响更不可忽视．对于正应力σx，σy与沿板厚方向的变形相互影响引起的应变能项，与其它几项相比，对结果的影响很小，可以不考虑，因此式(11)改写为:

［1］徐芝纶．弹性力学(第三版)下册［M］．北京:高等教育出版社，2003:1-6．

［2］黄克智，夏之熙．板壳理论［M］．北京:清华大学出版社，1987:90-110．

［3］林家浩，曲乃泗，孙焕纯．计算结构动力学［M］．北京:高等教育出版社，1989:167-170．

［4］Warren C．Young Richard G．Bndynas，Roark’s Formulas for Stress and Strain(Seventh Ed)［M］．New York:McGraw-Hill Companies，2002:764-766．