基于生活构建知识，基于问题形成能力

张彤

[摘 要] 初中数学要发挥基础性的作用，关键在于利用数学知识的构建和数学问题的解决，帮助学生形成逻辑思维和理性思考. 基于初中数学的特点，应当强调数学知识的构建需要以学生的生活经验和认知为基础，数学能力的形成需要基于问题的解决. 作为能力形成的起始阶段，概念理解型问题需要引起高度重视，因为其是连接基本概念与较难数学问题的纽带.

[关键词] 初中数学；生活；问题；知识建构；能力形成

初中数学是传统意义上的“大”学科，这个大不是体现在学科霸权上，不是因课时多、中考分数高而忽视其他学科的价值，而是体现在数学学科的基础性与工具性上. 数学教学应当使初中生具有理性思维，具有逻辑思维，同时要能为其他学科的学习奠定基础. 从实际教学的情形来看，学生在数学学习中面临的两大问题是：数学知识的建构往往比较被动和机械，传统的教学方式加上被动的学习行为，使得学生在构建知识的时候更多地行走在教师设置的轨道上，这种缺乏自主思维参与的知识建构过程，使得学生对数学知识的理解与掌握常常是表面性的，于是实际教学中就出现了所谓的“学得死”的情形. 数学能力是数学教学的核心目标之一，这里所说的能力主要是指学生的问题解决能力，其既包括数学习题的解答能力，也包括数学问题的解决能力. 前者是后者的基础，后者是前者的升华. 实际教学中，学生的数学能力往往更需得到关注，其形成往往也更为复杂. 由于前面所提到的知识建构原因，由于学生的学习方式原因，学生在习题解答、问题解决中的能力常常表现为“讲过的听得懂，一变化就出错”的情形. 笔者以为，要较好地解决数学知识建构和问题解决的问题，必须紧紧依靠学生，在学生生活的基础上去建构知识，并通过良好的问题设计与解决，让学生形成能力.

基于生活建构知识，充分利用

学生的认知基础

现代教学理论早已得出结论，学生的学习不是被动吸收的，而是主动建构的. 笔者这里不明确提出建构主义，因为其已为许多数学界的课程专家所批评，但一个基本的认识是，学生的数学学习确实具有建构性，学生的生活经验及认知基础对于学生的数学学习确实有着重要的作用. 在数学知识的教学中，认识到这种作用并充分让这种作用得到发挥，是数学教师面临的挑战之一. 现以“绝对值”教学为例，谈谈笔者的想法与做法.

绝对值是初中数学的基础知识，其与许多数学知识密切相关，因而具有基础性. 而知识的基础性又决定了学生的学习不能只重视概念本身，而要注意绝对值的数学意义. 从知识联系的角度来看，绝对值是相对于负数而言的，某种程度上讲，没有负数就没有所谓的绝对值. 尽管这一认识还比较原始，但对于绝对值概念的教学却有启发意义. 试想，在学生没有接触负数的时候，他们所认识到的数不是都是正数吗？因此，教好绝对值概念，必须依靠学生在生活中形成的数的认识基础. 对此，笔者以为，可以先创设一个问题情境，让学生的思维有一个依托. 巧合的是，某数学同行对此问题进行了类似的思考，给出了如下两个问题，笔者以为具有借鉴意义（略有改动）.

问题1？摇 甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发，甲车向东行驶了10千米，到达A点；乙车向西行驶了15千米，到达B点.

（1）如何用有理数表示甲、乙两车的行驶情况？

（2）用数轴表示两车的行驶情况；

（3）如果每车每公里耗油0.1升，则两车各耗油多少升？

问题2？摇 比赛用的乒乓球规格有严格的规定，而乒乓球的规格衡量标准之一是乒乓球的质量（即克重），现对一批乒乓球进行检测，结果是：+6，-2，+4，-3，-6，+5（单位：克. 正值表示质量偏大，负值表示质量偏小）. 试判断哪个乒乓球的质量最好.

对于这两个问题的运用，笔者以为问题1的（1）（2）两个问题可以帮助学生回顾有理数的相关知识，从而让学生对于绝对值的知识建构有一个基础. 无数事实证明，这样的问题提出对于提取学生记忆中的数学知识作用明显；而第（3）问则与学生的生活接近，当然也与数学知识接近. 更重要的是，通过这一问题，学生可以发现耗油的多少与运动方向（即数值的正负）没有关系，其中就已经隐含了绝对值的意义；而对于问题2，这也是一个实际问题，笔者以为运用的关键在于引导学生从正与负的比较中发现球的质量好与差与正负无关，而与正负符号后的数值大小有关. 相对于第一个问题而言，其指向绝对值的意向更加明显.

在与学生仔细分析了这两个问题之后，学生会认识到，对于一些现实问题，有时数字前面的正负号并不会影响问题的解决. 如果教师此时再明确一下学生的这一认识，并让学生再到生活中寻找类似事例，学生的这一印象就会更加深刻. 于是，认识到“数有正负之分，但有时候正负并不对问题的解决产生影响”（学生的原话）就成为绝对值概念生成的认知基础. 在此基础上，教师判定学生的认识是否正确，并寻找表示这一认识的概念即绝对值就比较自然了. 当然，这里不得不提的是，从生活认识到数学定义之间，还需要经过一个几何抽象的过程，即将正负数放在数轴上表示，然后将绝对值抽象成“距离”概念去理解，这个过程同行相对熟悉，不再赘述.

基于问题形成能力，充分发挥

学生的建构能力

能力包括的内容较多，这里所说的能力主要是指解决问题的能力. 学习是一个特殊的过程，其面对的往往是经过高度抽象的生活问题，即数学问题或数学习题. 需注意的是，问题解决能力的形成是有基础的，介于数学概念与数学问题之间的概念理解性问题，往往是学生能力形成的坚实基础. 现仍以绝对值的教学为例，对概念理解型问题做一些阐述.

绝对值定义是通过“距离”来实现的，但距离的理解往往只限于在数轴之上，可事实上，很多数学问题是脱离了数轴而存在的，因此利用绝对值的知识来解决问题，更多的还是基于绝对值这一概念，这就涉及绝对值概念的理解. 一个常见的问题是：已知a+6+b-8=0，则a=______；b=______. 初学绝对值时，学生常常感觉要解决此题有些困难，他们的第一反应往往是本题有无穷多个解，因为只要a+6和b-8互为相反数就行了. 不能说学生的这一想法没有道理. 事实上，本题呈现的重要目的之一，就是强化绝对值大于或等于0的认识，而学生的这一认识恰恰提供了教学的一个契机. 此时，教师不必过快地揭示本题的“奥妙”，而应大胆地让学生犯错，不妨让他们按原来的思路去解题. 碰壁之后，他们就会发现自己思维的错误了.

在笔者看来，这是一个重要的教学思路，传统的数学教学只呈现正确的解题思路，然后让学生去模仿. 但学生的学习不可能如教师想象得这样简单，犯错是学生学习中必然会出现的情形，与其在考试中出错，倒不如在知识学习与问题解决的过程中出错. 事实证明，一旦让学生沿着原有的思路去进行，学生很快就会发现，要将a+6和b-8变成一个负值是不可能的，因而唯一的可能性也就出来了.

在这一过程中，学生面对教师提出的问题并产生了解决问题的直觉，而在自己尝试的情形下，又发现自己的直觉存在问题. 于是经过逻辑思考，只能得出a+6及b-8均等于0的结论. 尽管问题本身并不复杂，但对于初学绝对值知识的学生来说，却是经历了一个完整的问题解决过程. 在这个过程中，错误思路与正确思路并存，自主建构与教师引导并存，再加上教师指导下的学习反思，那就可以生成较强的问题分析能力与问题解决能力了.

因此我们认为，学生的能力真的不是教师教出来的，而是学生在建构过程中自主生成的. 教师的作用是什么？是提供学生良好的发现、分析、解决问题的机会，并在把握学生思路的基础上拓宽学生的思维，引导学生总结，必要时还需让学生犯点错，这才是数学教师教学的智慧所在.

从学生生活到问题，关键在于

师生及数学契合

多年的教学实践与教学反思让笔者意识到，数学教学绝对不只是数学知识的教学，数学教学是一个复杂的过程. 影响学生学习的因素很多，但把握好其中的生活因素、问题因素，就能很好地将学生与数学联系起来. 在这个过程中，教师需要追求的是教师、学生、数学三个因素的两两契合.

“绝对值”这一知识教学告诉我们，数学概念的建立必须基于生活，初中知识虽然抽象，但在生活中基本上都能寻找到原型，一旦这些生活认知成为学生的经验基础，那数学教学就有据可依；数学能力的形成必须基于问题，问题是人类文化延续的重要载体，苏格拉底在不断的追问中变成大哲学家，而数学的产生与发展恰恰也是依赖于问题的，迄今尚未解决的数学难题正是数学发展的持续动力. 因此，在初中数学教学中依赖问题，或者说向学生提出有含金量的问题，永远是数学教师的职责. 一句话，只有将学生放到问题的大海中，他们才会获得搏击风浪的能力.endprint