分段函数

邹生书

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，却经常被学生误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.分段函数情形复杂、综合性强，能有效考查复杂函数的图象和性质，综合考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想和分类讨论思想，因此分段函数倍受高考命题人青睐，是历年高考中的热点题型.在2015年高考的全国各省市15份理科试卷中有8份试卷考查了分段函数，这8道题目均为客观题且大多为客观题中的压轴题，分段函数成为2015年高考中一道亮丽的风景线.下面对这8道考题一一加以解析，供参考.

例1（浙江卷第10题）已知函数f（x）=x+2x-3，x≥1，

lg（x2+1），x<1，则f（f（-3））=；f（x）的最小值是.

解因为f（-3）=lg10=1，所以f（f（-3））=f（1）=0.

若x≥1，则，f′（x）=x2-2x2，当12时，f′（x）>0，所以f（x）min=f（2）=22-3.若x<1，则f（x）=lg（x2+1）≥f（0）=0.

综上可知，f（x）的最小值是22-3.

点评本题主要考查分段函数的求值和最值.分段函数的最小（大）值是各段函数最小（大）值（如果有最小值或最大值）中的最小（大）者.

例2（福建卷第14题）若函数f（x）=-x+6，x≤2，

3+logax，x>2（a>0，且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是.

解因为当x≤2时，f（x）=-x+6≥4，而函数f（x）的值域是[4，+∞），故当x>2时，f（x）单调递增，且f（x）>4，即a>1且3+loga2≥4，解得1

点评本题主要考查分段函数的单调性和值域，根据函数的单调性和值域列不等式组是问题解决的关键.

例3（湖北卷第6题）已知符号函数sgnx=1，x>0，

0，x=0，

-1，x<0.f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）-f（ax）（a>1），则（）.

A.sgn[g（x）]=sgnxB.sgn[g（x）]=-sgnx

C.sgn[g（x）]=sgn[f（x）]D.sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]

解因为f（x）是R上的增函数，且a>1，所以当x>0时，xax，则f（x）>f（ax），从而g（x）>0.由符号函数的定义知，sgn[g（x）]=1，g（x）>0，

0，g（x）=0，

-1，g（x）<0，=1，x<0，

0，x=0，

-1，x>0，=--1，x<0，

0，x=0，

1，x>0，即sgn[g（x）]=-sgnx，故选B.

点评本题主要考查符号函数、函数的单调性，考查考生运用新概念解决问题的能力和继续学习潜能.

例4（山东卷第10题）设函数f（x）=3x-1，x<1，

2x，x≥1，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）.

A.[23，1]B.[0，1]C.[23，+∞）D.[1，+∞）

解①因为当x<1时，f（x）=3x-1单调递增，且f（x）

点评函数单调性的运用是本题获得简解的关键.

例5（北京卷第14题）设函数f（x）=2x-a，x<1，

4（x-a）（x-2a），x≥1.①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是.图1

解①若a=1，则f（x）=2x-1，x<1，

4（x-1）（x-2），x≥1，作

f（x）的图象如图1所示.由图可得f（x）的最小值为-1.

②法1注意到，当x<1时，f（x）=2x-a=0

x=log2a<10

（1）若a≤0，由上知，当x<1时，f（x）=2x-a无零点；而当x≥1时，f（x）=4（x-a）（x-2a）无零点.

（2）若0

（3）若a≥2，由上知，当x<1时，f（x）=2x-a无零点；而当x≥1时，f（x）=4（x-a）（x-2a）恰有两个零点a，2a，故a≥2满足条件.

综上，实数a的取值范围是[12，1）∪[2，+∞）.图2图3

法2当a≥1时，作出f（x）的图象如图2所示.

要使f（x）恰有2个零点，则其图象与x轴有2个交点，

当且仅当2-a≤0，即a≥2.

当a<1时，作出f（x）的图象如图3所示.

f（x）恰有2个零点，则当且仅当a<1≤2a，

2-a>0，解得

12≤a<1.

综上，实数a的取值范围是[12，1）∪[2，+∞）.