向量的两个性质在解题中的应用

本文给出向量的两条性质，并举例说明这两条性质在解题中的应用.

首先，给出以下性质1.

性质1m·n≤|m|·|n|，当m与n同向时取“=”.

笔者用以上性质1来解几道高考题和竞赛题，解答过程简洁，明了，给人耳目一新的感觉.现介绍如下，以供参考.

例1（2013年新课标Ⅱ卷，理24）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，

证明：（1）ab+bc+ca≤13；（2）a2b+b2c+c2a≥1.

证明（1）略.

（2）设m=（ab，bc，ca），n=（b，c，a），则m·n=a+b+c，|m|=a2b+b2c+c2a，|n|=b+c+a.由m·n≤|m|·|n|，得a+b+c≤a2b+b2c+c2a·b+c+a，即a2b+b2c+c2a≥a+b+c=1，当且仅当m与n同向时，即a=b=c=13时，等号成立.

例2（2013年湖南高考理10）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为.

解取m=（1，1，1），n=（a，2b，3c），由m·n≤|m|·|n|，得a+2b+3c≤3·a2+4b2+9c2，所以6≤3·a2+4b2+9c2，所以a2+4b2+9c2≥12，当且仅当m与n同向时，即a=2b=3c=2时等号成立，所以a2+4b2+9c2的最小值为12.

例3（2013年高考全国新课标1卷第15题）设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=.

解设m=（1，-2），n=（sinx，cosx），由m·n≤|m|·|n|，得sinx-2cosx≤5，当且仅当m与n同向时，即sinx=55，cosx=-255时，等号成立，因为当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，所以cosθ=-255.

例4（2015年全国高中数学联合竞赛四川初赛第4题）记函数f（x）=2-x+3x+12的最大值为M，最小值为m，则Mm的值为（）.

A.62B.2C.3D.2

解因为函数f（x）=2-x+3x+12的定义域为[-4，2]，所以构造平面向量α=（1，3），β=（2-x，x+4），则|α|=2，|β|=6，α·β=2-x+3·x+4，因为α·β=|α||β|cos<α，β>≤|α||β|，当且仅当α与β同向时取等号，所以2-x+3×x+4≤26，当且仅当13=2-xx+4>0，即x=12时，f（x）取最大值M=26，又因为f（-4）=6，f（2）=32，所以函数f（x）的最小值m=6，Mm=266=2.

点评向量是高中数学的主干知识，本题构造向量，利用向量数量积的性质α·β≤|α||β|解题.

例5（2015年重庆卷文科第14题）设a，b>0，a+b=5，则a+1+b+3的最大值为.

解取m=（1，1），n=（a+1，b+3），m·n=a+1+b+3，|m|·|n|=2·（a+1）2+（b+3）2=2·a+b+4=32，根据m·n≤|m||n|得，a+1+b+3≤32，当m与n平行，即当且仅当a+1=b+3，即a=72，b=32时，a+1+b+3取最大值32.

其次，给出以下性质2.

性质2若|m|=|n|，且m·n=|m|·|n|，则m=n.以下用性质2来解几道高考题和竞赛题.

例6（2012年辽宁高考）已知sinα-cosα=2，α∈（0，π），则tanα=（）.

A.-1B.-22C.22D.1

解构造向量m=（1，1），n=（2sinα，-2cosα），则|m|=|n|=2，且m·n=|m|·|n|=2，所以m=n，所以2sinα=1，2cosα=-1，即sinα=22，cosα=-22，所以tanα=sinαcosα=-1，故选A.

例7（2012年湖北高考理科）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则a+b+cx+y+z=（）.

A.14B.13C.12D.34

解构造向量m=1010（a，b，c），n=1020（x，y，z），则|m|=|n|=1，且m·n=|m|·|n|=1，于是m=n，从而1010a=1020x，1010b=1020y，1010c=1020z，即a=12x，b=12y，c=12z，所以a+b+cx+y+z=12（x+y+z）x+y+z=12，故选C.

例8（2013年湖北高考理13）设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，则x+y+z=.

解设m=（x，y，z），n=114（1，2，3），则|m|=|n|=1，m·n=|m|·|n|=1，于是m=n，从而x=1414，y=147，z=31414，所以x+y+z=3147.

例9（2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛第一试第7题）若实数a，b，c满足a+2b+3c=6，a2+4b2+9c2=12，则abc的值为.

解把等式a+2b+3c=6两边乘2得2a+4b+6c=12，

构造空间向量，m=（2，2，2），n=（a，2b，3c），

则|m|=|n|=a2+（2b）2+（3c）2=23，

且m·n=2a+4b+6c=12，|m|·|n|=12，

即m·n=|m||n|，所以m=n，

由向量的性质得，a=2，2b=2，3c=2，

所以a=2，b=1，c=23，

所以abc=43.

点评本解法利用了向量的性质：若|m|=|n|，且m·n=|m||n|，则m=n，巧妙构造向量，创造利用该性质的条件是快速破解此题的关键.

以上几例说明，要善于观察题目特征，构造恰当的向量并利用向量性质来解题，该解法思考方式新颖并且富有创造性，使解题难点转移，使解题过程优化.作者简介罗文军，男，1986年1月生，甘肃秦安人，中学二级教师，多次被评为秦安二中校级优秀教师.发表文章10余篇，