浅析高等数学教学难点定积分的应用

关璐

（内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特　010070）

浅析高等数学教学难点定积分的应用

关璐

（内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特010070）

0　引言

随着现代科技的发展，数学在各个研究领域越来越受到人们的重视。而高等数学是大学数学课程的基础。高等数学这门课程不仅是学生后续将要学习的课程的基础，也是学生考研的必考科目。一元函数定积分是高等数学中的重要内容，利用它可以解决很多问题，像计算平面图形的面积、立体的体积等。很多学生在学习的过程当中，感觉到公式太多，不会合理地利用公式，从而渐渐失去了学习兴趣。因此，结合多年的教学经验，针对高等数学教学中的定积分的应用提出一些教学方案。

1　利用定积分计算平面图形的面积

在学习了定积分的定义和计算之后，重点学习的就是定积分的应用。定积分的应用主要是计算平面图形的面积和立体的体积。首先给学生介绍利用定积分计算平面图形的面积。

在教学过程中首先通过定积分的定义结合几何意义引导学生推导面积计算的三个标准型。

平面图形D由曲线y=f（x），x轴以及（x=a和x=b）围成，则：

（2）平面图形D由曲线C1，C2以及（x=a和x=b）围成且C1在C2上方，其中C1：y=f（x），C2：y=g（x），则：

（3）平面图形D由曲线C1，C2以及（y=c和y=d）围成且C1在C2右侧，其中C1：x=φ（y），C2：x=ψ（y）则：

注意：上述括号中的直线可以出现也可以不出现。

其次，通过教师的引导和学生一起建立利用定积分求平面图形面积D的步骤。

第一步：画草图用阴影表示平面图形面积D；

第二步：将平面图形面积D划分为标准型；

第三步：准备工作，包括求被积函数，求积分上下限，被积函数有绝对值的要求分点；

第四步：利用选好的公式求定积分。

学生通过标准型的学习以及步骤的掌握，对于题目给定的计算面积的平面图形就可以很容易地分类、解决。这样学生就会很轻松地掌握利用定积分计算平面图形的面积的方法，就会对这部分内容的学习有着极大的兴趣，从而大大的提高了学习的效率。

下面举两个典型的例子：

解：由图1可知，椭圆在四个象限的图形是对称的，因此，只要计算第一象限的图形的面积乘以4就是椭圆的面积。而第一象限的图形就是第一个标准型，因此，面积公式为：

图1　

例2求由曲线y2=2x与直线y=x-4所围图形的面积。

图2　

如图2所示，此平面图形是一个第三类标准型，也可以看作是由x=2分割的左右两部分。当然是看做第三个标准型简单，即用公式

2　积分计算立体的体积

利用定积分可以计算已知平行截面面积的立体的体积也可以计算旋转体的体积。在这里重点介绍旋转体体积公式的选择、使用。

在教学过程中首先要给学生介绍四个标准型五个公式，包括：

（1）平面图形D由曲线y=f（x），x轴以及（x=a和x= b）围成，则：

（2）平面图形D由曲线x=φ（y），y轴以及（y=c和y=d）围成，则：

（3）平面图形D由曲线C1，C2，以及（x=a和x=b）围成且C1在C2上方都在x轴上方，其中C1：y=f（x），C2：y=g （x）则：

（4）平面图形D由曲线C1，C2以及（y=c和y=d）围成且C1在C2右侧且都在y轴右侧，其中C1：x=φ（y），C2：x=ψ（y）则：

可以结合利用定积分求平面图形的面积的步骤，通过教师的引导和学生一起建立利用定积分求旋转体体积的步骤。

第一步：画草图用阴影表示平面图形面积D；

第二步：将平面图形面积D划分为标准型；

第三步：准备工作，包括求被积函数，求积分上下限，被积函数有绝对值的要求分点；

第四步：利用选好的公式求定积分。

例3求由y=x3，x=y2所围成的图形绕x轴，y轴旋转所得的旋转体的体积。

解：如图3所示，由y=x3，x=y2所围成的图形绕x轴所得的旋转体求体积是属于第三个标准型。

由y=x3，x=y2所围成的图形绕y轴所得的旋转体

图3　

求体积是属于第四个标准型，故应该使用公式

3　结语

定积分这部分内容是微积分的基础，因此，定积分的应用也非常重要。特别是通过这部分内容的学习可以激发学生的学习热情和兴趣。因此，每一位教师都应该认真思考，不断总结如何讲解好这部分内容，为学生将来的学习打下坚实的基础。

［1］张晓荣.定积分的应用［J］.商界论坛，2012（19）：221-222.

［2］阿尔斯兰.谈关于定积分的求法及其应用［J］.魅力中国，2010（06）：287.

［3］辛春元.定积分的应用研究［J］.现代商贸工业，2008（11）：262-263.

［4］谢黎东.巧用定积分［J］.科学咨询（科技·管理），2011（08）：107.

［5］刑华，高娃.微积分［M］.上海：复旦大学出版社，2012.

Definite Integral；Plane Graphics Area；Rotator Volume

Application of Definite Integral in Higher Mathematics Teaching

GUAN Lu

（College of Statistics and Mathematics，Inner Mongolia Finance and Economics University，Hohhot 010070）

1007-1423（2015）26-0073-03

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.26.018

关璐（1981-），女，内蒙古乌兰察布人，硕士，讲师，研究方向为图的代数结构、连续介质力学等

2015-09-11

2015-09-20

一元函数定积分是高等数学中的重要内容，利用一元函数定积分可以计算平面图形的面积和立体的体积，但是学生常常感觉到这些知识较难掌握。结合多年的教学经验，针对一元函数定积分应用的学习提出一些相应的教学方案。

定积分；平面图形面积；旋转体体积

内蒙古财经大学教育教学项目（No.JX1424）

Functions of one variable definite integral is an important part of higher mathematics，uses a definite integral element function can calculate the volume of the area of the plane and three-dimensional graphics，but students often feel that knowledge is difficult to grasp.Combined with years of teaching experience，for learning functions of one variable definite integral application，puts forward some teaching solutions.