引入平滑项的离散力学优化控制模型

高磊

（1.青岛科技大学机电工程学院，青岛　266061；2.青岛大学信息工程学院，青岛　266071）

引入平滑项的离散力学优化控制模型

高磊1，2

（1.青岛科技大学机电工程学院，青岛266061；2.青岛大学信息工程学院，青岛266071）

0　引言

针对力学系统离散化的优化控制模型DMOC （Discrete Mechanics and Optimal Control）［1］，基本思想是直接对组成优化问题的目标函数和约束条件进行离散操作，从而得到离散化的方程，进而通过离散方程的数值计算得到离散化的最优解。离散化的模型不仅在数学上与连续模型等价，在物理上也能很好地与守恒定律保持一致。DMOC模型最初被用于优化运动轨迹［1-3］，约束条件扩充后也用于多体系统的优化控制［4-5］，均可获得平稳的运行轨迹。与此同时，在DMOC模型的目标函数中，只注重控制力总量的最小化，在离散时间步长较大时容易产生控制力波动的问题，甚至是控制力的大幅波动。如果减小离散步长，不仅使计算效率下降，也不能完全避免控制力的波动。造成这种问题的主要原因在于设计目标函数时只考虑到控制力总量最小，而在数值积分过程中取两个相邻时间离散点控制力的均值进行积分，相邻两离散点控制力围绕0点的波动可使离散力趋向于最小，这种波动非常不利于控制力的平稳输出。通过在目标函数中引入平滑项，强制相邻离散点控制力的变化较小，能够保证离散力的平滑。

1　离散力学优化控制模型

考虑一个一般化的优化问题：一个力学系统在时间［0，1］内在空间Q中的经由曲线q（t）∈Q完成运动，系统的初态为（q（0），q.（0）），终态为（q（1），q.（1））。系统在控制力f的作用下运动。目标函数为：

系统运动过程中q（t）满足达朗贝尔原理，即约束条件为：

变分δq满足δq（0）=δq（1）=0，其中L是系统的拉格朗日函数，为系统的运能减势能。

离散优化控制模型直接对目标函数和约束条件进行离散，将q在时间［0，1］上划分成N等份，用qd表示，则对应的离散目标函数和约束条件分别为：

0，k=1，…，N-1（4）

所有下标d表示对应项的离散表示，其中：

Di为对第i项求偏导。为示离散的第k步的左、右离散力，定义为：

离散化的模型包含目标函数（3）和约束条件（4），可以采用SQP算法求解。

2　引入平滑项的优化控制模型

根据前述产生控制力波动的原因，为保证控制力的平滑，可在目标函数中引入类似文献［6］中的平滑项，其离散形式为：

其中，fk+1与fk为相邻两步的离散力，在Cd的计算中可与惩罚参数θ相乘保证相邻离散力的差别不大。θ为一足够大的正数，用于约束相邻两次的离散力的平稳变化。在具体计算中，可取：

如果控制力的变化与运动路径无关，可得简化的目标函数为：

由于约束条件没有变化，引入平滑项后的模型仍然为带等式非线性约束的优化问题，同样可用SQP算法求解。

3　卫星变轨数值仿真算例

为了验证引入平滑项的优化模型的有效性，使用MATLAB 2013b对卫星变轨的优化控制进行数值仿真。推动一个质量为m的卫星由低轨半径r0运行到同一平面的更大半径r1所在轨道。卫星用极坐标q=（r，φ）表示，控制力为f=（0 ru）T，其中u为只作用在运动方向上的推力。初态为。γ是引力常数，M是地球质量。设运动时间为T=（T0+T1）/2，其中T0和T1是初始位置和终止位置的轨道周期。相关参数分别为系统的拉格朗日函数为：L（q，q.）=m（r.2+r.2φ.2）/2+γMm/r。离散化的目标函数为：

引入平滑项，为：

数值仿真实验证明，当离散步数N大于某特定值时，随着N的增大目标函数保持不变，即离散步长的大小对计算结果的精度影响不大。为兼顾计算效率和统一比较两种模型的结果，取N=40，引入平滑项的DMOC模型中取θ=50。两种模型不同的变轨轨迹和控制力时间曲线如图2、图3所示。

图2　卫星变轨轨迹

如图2所示，DMOC模型和引入平滑项的DMOC模型的卫星的变轨轨迹几乎相同，但图3所示的卫星推力的时间曲线相差很大。DMOC模型的推力波动严重，引入平滑项之后的推力更为平稳和可控。

图3　卫星推力的时间曲线

4　结语

DMOC模型直接对优化问题中的目标函数和约束条件进行离散操作，离散后的数学模型能够保持与物理守恒定律的一致，由于侧重于控制力总量的最小化，控制力的波动不可避免。通过引入平滑项，限制相邻离散力的变化，可保证控制力的平稳。卫星变轨仿真实验表明在采用相同计算方法的前提下，引入平滑项的DMOC模型能够有效保证控制力的平滑输出。

［1］Junge O，Marsden J E，Ober-Blöbaum S.Discrete mechanics and optimal control.Proccedings of IFAC World Congress，2005，35（5）：1507-1525.

［2］张卫忠，孟秀云，单家元.离散机械最优控制的轨迹设计方法仿真研究.系统仿真学报，2011，23（B07）：69-71.

［3］Moore A，Ober-Blöbaum S，Marsden J E.Trajectory design combining invariant manifolds with discrete mechanics and optimal control.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2012，35（5）：1507-1525.

［4］Leyendecker S，Ober-Blöbaum S，Marsden J E，et al.Discrete mechanics and optimal control for constrained systems.Optimal Control Applications and Methods，2010，31（6）：505-528.

［5］刘颖，马建敏.约束多体系统动力学分析的改进的离散零空间算法.计算力学学报，2013（4）：496-501.

［6］Rudin L I，Osher S，Fatemi E.Nonlinear total variation based noise removal algorithms.Physica D：Nonlinear Phenomena，1992，60（1）：259-268

Discrete Mechanics；Optimal Control；Smoothing Term

Discrete Mechanics and Optimal Control with Smoothing Term

GAO Lei1，2

（1.College of Electromechanical Engineering，Qingdao University of Science and Technology，Qingdao 266061；2.College of Information Engineering，Qingdao University，Qingdao266071）

1007-1423（2015）26-0018-03

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.26.005

高磊（1977-），男，山东莱芜人，讲师，硕士研究生，研究方向为动力学与控制

2015-07-16

2015-08-15

作为一种新近提出的力学系统的离散优化控制模型，DMOC在大步长时易产生控制力的波动，对控制力的平稳输出非常不利。将平滑项引入DMOC模型，可以保证控制力的稳定。卫星变轨的数值仿真结果表明，平滑项的引入能够使控制力最小化的同时，保持控制力平稳变化。

离散力学；优化控制；平滑项

As a recently developed discrete optimal control model for mechanical system，discrete mechanics and optimal control（DMOC）suffers fluctuation of control forces when discrete step is large，which is unfavorable for stable output of control forces.With smoothing term added to DMOC model，stability of control forces can be acquired.Numerical simulation results of the satellite orbit transferring show that the introduction of smoothing term can keep control forces change smoothly while minimizing the total control forces.