浅谈不定积分与R(黎曼)积分的关系

张明会，高婷婷（陇南师范等等专科学校数信学院，甘肃成县742500）

浅谈不定积分与R(黎曼)积分的关系

张明会，高婷婷
（陇南师范等等专科学校数信学院，甘肃成县742500）

高等数学中的积分包含不定积分和定积分（R(黎曼)积分）两类，不定积分是从逆运算的角度，把积分看作微分运算的逆运算，定积分则是从求极限的角度，把积分看作是一类特殊形式的和数极限。从两种积分的概念入手，通过例题分析来揭示这两种积分的内在关系。

R(黎曼)积分；不定积分；关系；分化

1R(黎曼)积分的定义

定义：设f(x)是定义在[a,b]上的函数，J是常数，如果∀ε>0,∃δ>0，使对区间[a,b]上的任意一个划分T，只要就有

则称f(x)在[a,b]以黎曼意义可积分，简称R(黎曼)可积，称J为f(x)在[a,b]上的黎曼积分或定积分，记作，或简记为，即

若时，∑f(ξi)Δxi不 趋于任何定值，就称f(x)在[a,b]上不可积。由于柯西积分和黎曼积分定义的结构形式雷同，但前者对被积函数加了连续限制，对分化T加了等分限制，而后者却对被积函数及分化未做任何限制，所以R(黎曼)积分概念是柯西积分概念的直接推广。已知道存在一类有界不连续函数是黎曼可积的。另外，若f(x)在[a,b]上是N可积的，则f(x)必是R(黎曼可积的，此时两种可积的意义是等价的，且

当然，一般情况下R积分和N积分并不相等。

在高等数学或者在数学分析中，R积分被认为是够用的理想的积分概念。但随着研究的进一步深入和应用的逐步广泛，R积分也明显地显现出他的弱点，例如R可积类的范围不够广泛，应运而生的勒贝格（Lebesgue）积分就是其中的一例。因此，现代研究对于广义的黎曼积分更加受到大家的重视。

2　不定积分与R(黎曼)积分的关系

函数f(x)在区间I上的全体原函数构成的集合，称为f(x)在I上的不定积分，记作

这里有两个问题，一是存在性，即那些函数存在原函数；二是求法，也就是如果原函数存在，如何找出原函数。要从根本上解决这两个问题，最终都要借助于定积分这个工具。

关于存在性的讨论，一条途径是从微分介值定理得出的，即“有第一类间断点的函数不存在原函数”；另外，是利用活动上限的定积分所定义的函数只要f(x)连续，则f(x)的原函数一定存在，而且F(x)就是其中之一。

关于求法问题，一是从不定积分的定义出发，因为

所以，从每一个求导公式就可以“翻译”一个相应的求不定积分的公式。但是，这样的倒推法还不能解决全部的求积问题。这一点与微分法不同。例如，根据导数的定义及微分法则可以求出全部初等函数的导数，然而根据不定积分定义和积分法则，即使对某些很简单的初等函数的不定积分也无能为力。问题在于导数定义本身给出了求导数的一个构造性算法，而不定积分的定义却没有这个特点。同时更重要的是，所有初等函数的导数仍然是初等函数，但不少初等函数的不定积分却不是初等函数，因此，还须另找办法去解决。

设f(x)在I上不定积分存在，原函数为F(x)，已知在某点x=a的值为F(a)，则由微分中值公式

其中b∈I，因为当b-a较大时，ξ的位置难作准确定位，从而F(b)的值就更难准确估计了。将[a,b]等分为n个小区间

则

其误差为

若f(x)连续，容易证明，当n→∞时上式以0为极限，因此

这就将求原函数两点差值的问题转化为求和函数的极限，即定积分的问题了。改b为x，则有

这从原则上给连续函数的原函数给出了一条构造性的定义和算法，基本上解决了连续函数的不定积分的求法问题。

3　结束语

在好多教材中，对于不定积分的定义大部分是“强加”给学生认识的，并没有指出为什么将∫f(x)dx=F(x)+C称为积分，当然也就没有深层次去讨论他们之间的联系和区别了。

其实，两种积分在本质上是相似的，不定积分是积分上、下限都不确定的积分，而R(黎曼)积分是上、下限都确定的积分。

虽然，这两种积分本质上相似，但却有着明显的不同之处：一是概念上根本不相同，f(x)的不定积分就是它的全体原函数，而在[a,b]上的R(黎曼)积分是一个极限值（常数）与积分变量的字母表示关系；二是这两种积分表示的几何意义也不相同，f(x)的不定积分的几何意义是以y=F(x)+C为方程的一簇积分曲线，而f(x)在[a,b]上的R(黎曼)积分的几何意义是由y=f(x)在直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。

[1]华东师范大学数学系.数学分析3版[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]马振华.离散数学导引[M].北京：清华大学出版社,2006.

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4]马振民,吕克璞.微积分习题类型分析[M].兰州大学出版社，1999.

[5]张明会,高婷婷.恒等变换方法在数学分析中的应用[J].湖南工程学院学报，2011(2).

(责任编辑：郝安林）

The Indefinite Integral and Integral Relationship(Riemann)

ZHANG Ming-hui,GAO Ting-ting
(Longnan Normal College,Gansu 742500,China)

The integral in higher mathematics consists of indefinite integral and definite integral((Riemann)inte⁃gral)two,the indefinite integral is from the angle of inverse operation,the inverse integral as the differential oper⁃ation,definite integral is the limit point of view,the integral as a special kind of form and the number limit.This article is from the concept of two kinds of integral,to reveal the internal relations of the two integral through ex⁃ample analysis.

(Riemann)integral;indefinite integral;relationship between;differentiation

O151.2

A

1673-2928（2015）02-0076-02

2014-07-11

陇南师范高等专科学校科研项目（2014LSZK02001）；陇南师范高等专科学校教学改革项目（JXGG2013003）。

张明会(1981-)，男，甘肃康县人，陇南师范高等专科学校数学系讲师，研究方向:基础数学。