如何在讨论数学问题中激发学生反思

王胜文 郭亚丹

摘 要： 营造自主的学习环境，激发学生的主观能动性，培养学生发展性学习，是当前深化课堂教学改革所面临的重要课题.学生在数学学习过程中，自主探索是核心要素之一，在自主探索过程中，需要作必要的反思，反思也是学生自主探索的必要环节.激发学生反思，培养好的反思习惯，找到能力增长点和创新的着力点.

关键词： 数学学习 学生反思 数学问题

布鲁纳认为，在教学过程中，教师应当制定和设计各种方法，创设有利于学生发展的、能够独立探究的学习情境，使学习成为一个积极主动的“索取”过程.《学记》中明确指出“学然后知不足，教然后知困.知不足，然后能自反也；知困，然后能自反也”，这说明了反思在教与学活动中的重要性.学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在老师引导下的“再创造”过程[1].学生学习的最后阶段为评估反馈阶段，若让学生在数学学习过程中对各个环节能够正确地自我评价和反思，则必能使学生重新理解知识，进一步优化思维，提高数学能力.教师在设计教学时应充分考虑学生主体性的发挥，让学生经历自主“做数学”的过程；还要提供必要的机会，使他们能够从事反思活动.研究表明，人的一般认知发展，包括认知能力的发展和认知水平的提高，在很大程度上得益于深刻的反思活动[2].合理的反思能够激发学生浓厚的学习兴趣，带给学生自身理智的挑战，使学生获得积极的、深层次的体验和足够自主的空间、足够的探索机会.

教师在数学教学过程中如何激发学生有效反思？除了培养学生具有反思习惯外，还应该通过对教学的内容进行多方面的思考，在学生学习数学知识的过程中，激发学生反思，形成良好的学习品质.下面通过对数学问题的解决方法的思考，提出四个方面的反思突破口.

1.对问题的条件进行反思

解决问题的关键是寻求问题条件与结论的联系，若问题的条件有变，则结论会变，解题方法也可能会变.学生对命题的条件进行必要的反思，可以培养学生思维的灵活性和深刻性.

案例一：判断以过椭圆焦点F的弦为直径的圆与椭圆相应于F的准线的位置关系.

利用椭圆相关知识，不难判断位置关系为相离.

教师可以提出改变椭圆这个条件激发学生反思：上述问题中，若将椭圆变为双曲线或抛物线，问题的结论会怎样？如何证明？

对问题的条件作变式反思，也是培养学生辨别能力和探究能力的有效途径.

2.进行类比归纳反思

数学命题千变万化，但一些命题或问题有相同的根源，解决这类问题的方法有时也可能大同小异，教师对具有这类特点的问题及解决过程可通过类比或归纳，然后激发学生进行反思.

案例二：有以下一组问题

①若a、b、c∈R■，求证：（a+b+c）（■+■）≥4.

②x，y∈（0，+∞），且2x+3y=1，求证：■+■≥5+2■

③0

④已知x、y∈（0，+∞），且■+■=1，试求x+y的最小值.

⑤a>b>c，试求使■+■≥■恒成立的最大的n.

学生在不同的时间完成了上述题目，但是做完各题后不能让其成为一盘散沙.教师应该提出问题，让学生观察这类问题有何相同点与差异，激发学生反思.通过让学生讨论和总结，可以发现此类问题的本质都相同，抓住问题本质后就能以不变应万变，就可以高屋建瓴地解决同类型的问题.通过这种形式的教学，在学习过程中，学生能够有意识地对所学的内容进行逻辑分析、综合、分类、重新组织，把知识系统化，这种自觉掌握和整理知识的能力，是思维组织性的具体表现.

3.对命题作推广性反思

最能体现学生创新能力的应该是对命题进行推广.对命题推广的过程中，学生需要调动几乎所有的数学知识与能力，开放性的探究可以让学生体会到研究的困惑与喜悦，可以锻炼学生的创新能力.教师可以在这方面做些工作，让学生在对命题品味与反思同时，可以进行推广尝试.

以下是教学实际中学生对命题推广的案例：

案例三：（原问题）已知不等式■+■≤c≤■+■对一切正实数x，y均成立，则常数c的值为■.

推广1：若不等式■+■≤f（n）≤■+■（其中n为常数，n>1）对一切正实数x，y均成立，则f（n）=■.

推广2：若不等式■+■≤f（m，n）≤■+■（其中n>m>0，m，n为常数）对一切正实数x，y均成立，则f（m，n）=■.

推广3：若不等式■+■+■≤f（n）≤■+■+■（其中n>1，n为常数）对一切正实数x，y，z均成立，则f（n）=■.

4.对易错点进行反思

要培养思维的严密性，必须先培养思维的批判性.所谓思维的批判性，表现为独立思考，不盲从附和，不轻信，对问题有独立的见解，善于提出疑问，能及时发现并纠正错误，能批评自己提出的解题方法的优劣与正确与否，有反省和自我调节的能力.教师应该适当培养学生的质疑精神，甚至可以在具体的教学过程中，教师本身可以有意识的犯下错误，培养学生的独立思考能力，提高学生自我纠错、自我评价能力，引导学生辨析错误，提高鉴别能力.学生抓住易错点反思，就是培养自我纠错能力的最佳途径.

案例四：求函数f（x）=■的最小值.

学生常见错解：f（x）=■=■+■≥2，故f（x）的最小值为2.

学生纠正错误后进一步明确：用不等式求最值有三个环节：（1）各项为正数，（2）有乘积（或和）为定值，（3）不等式中“=”号可以成立，三个环节缺一不可.上述问题直接用均值不等式求解有困难，可转化为用函数的单调性求解或重新列项后用不等式求解.

学生养成对易错点反思的习惯，就能避免数学思维过程中的许多错误，培养思维的严密性，数学能力自然会得到提高.

新课程标准中的课程目标提出，让学生通过不同的形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造历程；发展学生数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断；提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度.学会反思，能使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度上得到进一步发展.教师在教学中可适时给学生以反思的示范，教学生学会反思，并鼓励学生养成反思的习惯.学生一定要适时捕捉反思的切入点，反思的过程要自己独立完成，不可由教师或其他人代替，否则所谓的反思充其量是模仿，起不到反思的作用，达不到预期的目的.

参考文献：

[1]人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.2.

[2]数学课程标准研制组.数学课程标准解读（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2002.50.

基金项目：贵州省教育厅高校人文社会科学研究项目（编号：13ZC234）；六盘水师范学院教学改革研究一般项目（编号：LPSSYjg201104）。