“走进图形世界”难点解析

吴克

本章内容是“空间与图形”最基础的部分，学生通过“观察、操作、想象、交流、反思”等活动，认识常见的几何体的基本特征，并通过实例进一步认识点、线、面及某些平面图形的一些基本性质，通过具体情境了解几何体的侧面展开图和三视图，感受二维空间与三维空间相互转换关系及其在现实生活中的应用.教材注重让学生经历图形的变化、展开与折叠等数学活动过程，构建知识结构，发展空间观念.

通过本章的学习，同学们要认识到空间与人类的生存和居住紧密相关，了解、探索和把握空间能更好地使人类生存、活动和成长，要通过观察、操作、想象和推理，积累有关图形探究的经验.

在这些年中考试卷中，注重考查由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化，体现转化和建模的数学思想，充分体现新课标的理念.热点题型有选择题、填空题和解答题，并注意加强内容之间的渗透，突出运用数学的意识.

一、 难点提示

（1） 从运动观点看：点动成线，线动成面，面动成体.

（2） 了解直棱柱、正方体、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断立体模型.

（3） 学会将立体图形用三视图描画出来，能根据三视图来判断这个立体图形的形状.

（4） 学习立体图形的平面展开图，培养多方面的能力，如空间想象能力、动手制作能力等.

（5） 体会几何体在切截过程中的变化.（如正方体、圆柱的截面）

（6） 由平面图形到立体图形的转化.能由几何体的三种视图，推断组成几何体的形状.（如正方体组成的几何体中小正方体方块的个数）

二、 难点分解

例1 下列各物体中，是一样的为（ ）.

A. （1）与（2） B. （1）与（3）

C. （1）与（4） D. （2）与（3）

【分析】能根据几何体的块数，在同一个平面的几何体的形状以及相应的三视图来进行判断.

【解答】（4）左边少一块；（2）互相垂直的6块几何体应在一个平面内，易得（1）为物体的前面，（3）为物体的左侧面.故选B.

【点评】本题主要考查三视图的知识和空间想象能力.

例2 下面是一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则要_______个正方体搭成.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【分析】本题是根据三种视图来推断小正方体的个数.

【解答】综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4（个）小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5（个），故选B.

【点评】从多角度观察物体到利用三视图刻画一个几何体，这是蕴含着构建数学模型，以及对数学知识归纳和抽象，把空间的问题转化为平面问题来处理等这样一种深层次的数学思维和数学活动，这个既是重点也是难点.

例3 过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图为（ ）.

【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题.

【解答】选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去的三角形交于一个顶点符合. 故选B.

【点评】考查了截一个几何体和几何体的展开图. 解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置.

例4 把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（ ）.

【分析】结合空间思维，解析折叠的过程及剪三角形的位置，注意图形的对称性，易知展开的形状.

【解答】当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在直角三角形中间的位置上剪三角形，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且三角形关于对角线对称，三角形的AB边平行于正方形的边. 故选C.

【点评】本题主要考查了学生的立体思维能力及操作能力. 错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养.

例5 一只蜘蛛在一个正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点B处，如图所示，现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的，在图上画出来，这样的最短路线有几条？

【分析】欲求从点A到点B的最短路线，在立体图形中难以解决，可以考虑把正方体展开成平面图形来考虑.如图所示，我们都有这样的实际经验，在两点之间，走直线路程最短，因而沿着从点A到点B的虚线走，路程最短，然后再把展开图折叠起来.

【解答】所走的最短路线是正方体平面展开图中从点A到点B的连线.

在正方体上，像这样的最短路线一共有六条，如图所示.

【点评】本题的解题关键在于把正方体展开成平面图形，在图中找准A、B两点的位置，根据两点之间线段最短正确解题.

四、 难点突破建议

要充分挖掘图形的现实模型，同学们要从现实世界中“发现”图形，自己动手操作、自主探索、合作交流，以积累有关图形的经验和数学活动经验，发展空间观念.因此，在学习之初，大家要先动手、后思考，以后大家要先想象，再思考.

（作者单位：江苏省南师附中江宁分校）