数形结合教学方法浅析

舒俊江

现实世界中，空间形式和数量之间有着多种多样的联系，经过人类不断地研究和探索，发现其中某些关系，再由人们不断提炼逐渐形成一种思想、在这些思想中就蕴含着数学思想，它是对数学事实和数学理论的本质认识.基本数学思想如：分类讨论思想、函数与方程思想，等等，它们在基础数学中具有奠基性和总结性，在学习数学知识的过程中，数学思想运用得当，就能在发展学生的数学能力方面发挥方法论的作用.下面我就结合数形结合思想教学方法谈谈自己的认识.

一、数形结合思想的认识

（一）数形结合的含义.

数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合的运用，大致分为两种基本形式：一是“形”的问题转化为用数量关系解决，它往往把技巧性极强的推理论证转化为数量关系解决，起到化难为易的作用.二是“数”的问题转化为形状的性质解决，它往往具有直观性，易于理解和接受的优点.总之，数形结合思想通过“以形助教”、“以数解形”，将复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，是数的规律性和灵活性的有机结合.

（二）数形结合的原则.

1.等价性原则

数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时是抽象而严格证明的诱导.

2.雙向性原则

在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成.仅对代数问题进行几何分析或只对几何问题进行代数分析，在很多时候是很难行得通的.

3.简单性原则

找到解题思路之后，至于用几何方法还是用带数方法，或者兼用两种方法叙述解题过程，则取决于哪种方法更简单，而不是刻意追求一种流行的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法.

二、数形结合思想的运用

例1.A、B两村子在河的同侧，且A、B村到河的距离分别为1千米、3千米，A、B两村的水平距离为3千米，现要在河边修一抽水站向A、B两村送水，铺设水管的工程费用是每千米2.2万元，如果国家拨款10万元，试问这两个村至少还需要自筹资金多少元，才能把水管铺到两村？

分析：运用轴对称知识，如图1-1所示.

图1-1

1.作点A、B关于直线C、D的对称点A■、B■.

2.连接A■B两点交直线CD于点P.

3.任取P以外点P■.

由几何知识可知，AP■=A■P■，AP=A■P，AP■+P■B=A■P■+P■B>A■B，即A、B两点间直线距离最短，即点P就是河边修建抽水站的地方.

根据勾股定理：A■B=■=■=5（千米），

所以两个村至少还需要自筹资金为：5*2.2-10=1（万元）.

评述：此例表明，P■在CD上移动时，当且仅当P■与P点重合时，AP■+B■P=AP+BP的值最小.

运用数形结合的方法，不仅直观易发现解题途径，简化了解题过程，而且开阔了思维视野，有利于对所用知识的理解和巩固.

同时，此例可以变成如下例子：

例2.已知x+y=3，且x>0，y>0，求x、y为何值时，■+■有最小值？

根据上例运用数形结合的思想方法，按等价性原则进行代数与几何的转换，使问题变得主动和直观.

分析：设AC=1，BD=3，CD=x+y=3，如图1-2.

1.作A点关于直线CD的对称点.

2.连接A■、B两点交直线CD于点P.

求x、y为何值时，■+■有最小值，即

变为CD上求一点P，使AP+BP的值最小.

解：因为AC=A■C=1，BD=3，

图1-2

又因为A■C/BD=CP/PB=1/3，所以CP=3/4，PD=9/4，

即x=3/4，y=9/4时，■+■有最小值.

评述：通过认真分析问题的“题设”与“结合”特征，运用数形结合的思想，处理以上类似数学问题，体现了以形助数、以数解形.不难发现，我们还可以做以下一般性推广.

例3.已知x+y=p（p>0），且x>0，y>0，求x、y为何值时，■+■有最小值？

三、数形结合思想的几点思考

（一）数学思想与数学基础知识及基本方法是怎样的一个关系.

数学思想即认识数学处理数学问题发热基本观点，而观点的形成又是人们在长期的学习中反复应用提炼逐步产生的，它来源于数学基本知识与基本方法，同时高于知识与方法，运用数学思想能使知识向更深更高层次发展.例如在以上例子中，运用转化与化归思想把式子转化为直观图形，变复杂为简单.长期反复地训练，学习就会由自发变为自觉，在处理问题时会主动自觉地运用，调用这样的方法与手段贯彻实现用这种思想解决问题.

（二）数形结合思想在数学教学中应逐步渗透.

学生运用数形结合的方法解决数学问题，是逐步熟练提高的过程，教师应对学生进行多次的数形结合思想渗透，不断发展学习数学的数形结合的思想，进而使学生逐渐形成在学习数学的时候有效运用数形结合的意识.必须使学生充分明白，要想利用数形结合思想解决问题，就必须找准二者的契合点，然后根据相应对象的属性，将数与形进行巧妙结合，进而相互间进行有效转化，这样才能真正有效地解决相应的数学问题.总之，引导学生不断地进行规律探索，从特殊到一般，进而归纳并总结一般性的结论.

（三）创造良好的课堂氛围，有利于学生对数形结合思想的学习和掌握.

创造良好的课堂氛围，教师要在课堂教学中处处要求自己，以身作则，用自己的威望影响全班学生，给全班学生以积极的情绪体验.教师的情绪、情感具有感染性，它能使学生受到潜移默化的影响.教学的趣味性，同样也有助于激发学生的学习兴趣.营造浓厚的学习氛围，教学内容难易要适度，由浅入深，学生经过积极努力，最后难题也容易解答，此时，他们就会体验到随之而来的幸福和喜悦，为自己的智慧、毅力和力量而信心大作，从而学习兴趣更浓厚，教师还应从学生非言语行为（表情、目光、动作、姿势）中了解学生的思想动态.教师一句热情而富有鼓励性的话，一个亲切信任的眼神，都能引起学生的兴奋感、责任感，使其形成积极的心理状态.这种良好的气氛对数形结合思想的教学或其他教学思想的教学都会产生非常积极的作用.

参考文献：

[1]张必华.重视通性通法渗透数学思想.

[2]初中数学教与学.2013（5）.