抽象函数问题不抽象

赵静

摘 要： 高一数学中引入了函数符号f（x），对于刚从初中升入高中的学生而言，这是比较抽象的又是函数中较难理解的.抽象函数的问题可转化为具体的函数解决，尤其是当我们解决选择和填空题时，可以很快得到正确答案，从而使问题简单化.

关键词： 抽象函数 函数 赋值

高一数学中引入了函数符号f（x），对于刚从初中升入高中的学生而言，这是比较抽象的，对函数的理解是高中数学的起始课，也是最关键的一课，函数学得好坏直接影响高中数学成绩好坏.抽象函数是函数中较难理解的，抽象函数是指没有明确给出函数表达式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则，此类函数问题既能全面考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理的论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及一般和特殊关系的认识.它在高中数学教材中没有具体涉及，但在高考及各类模拟试题中经常见到，学生普遍感到束手无策.实际上，有些抽象函数问题，用常规解法很难解决，但与具体函数“对号入座”后并结合赋值思想，问题就很容易迎刃而解.尤其是当我们解决选择和填空题时，可以很快得到正确答案.下面通过例题，对这种方法的有效性和快捷性予以论证.

1.若抽象函数y=f（x）对任意实数x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），像这类抽象函数，我们立即想到正比例函数y=kx（k≠0），它是满足所给的条件的，因而借助于正比例函数可将问题简单化.

例1：若对于任意实数x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）均成立，且f（x）不恒为0，请判断函数f（x）的奇偶性.

分析：根据题意，可联系正比例函数模型y=kx（k≠0），很快判断答案为奇函数.利用赋值思想给出解题过程，验证答案的正确性.

【解析】令x=y=0，则有f（0）=f（0）+f（0），故有f（0）=0.

令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x），

故有f（-x）=-f（x），

又因为f（x）不恒为0，所以函数f（x）是奇函数.

2.若抽象函数y=f（x）满足当x>0且y>0时，总有f（xy）=f（x）+f（y），我们知道对数函数满足上述条件，则可用对数函数为模型引出解题思路.

例2.设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，解不等式f（x）+f（x-8）≤2.

【解析】∵函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，

∴2=1+1=f（3）+f（3）=f（9），

由f（x）+f（x-8）≤2得f[x（x-8）]≤f（9），

∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，

则x（x-8）≤9且x-8>0，

∴不等式解集为{x|8

3.若抽象函数y=f（x）满足当x>0且y>0时，总有f（x+y）=f（x）f（y），我们知道指数函数满足上述条件，则可用指数函数为模型引出解题思路.

例3.函数f（x）（x∈R），当x>0时，0

所以函数f（x）是减函数.

4.若抽象函数y=f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）·f（y），我们知道幂函数满足上述条件，则可用幂函数为模型引出解题思路.

例4.已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）·f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，当0≤x<1时，0≤f（x）<1.

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明；

分析：根据题意，可联系幂函数模型，从而可猜想f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数.利用赋值思想给出解题过程，验证答案的正确性.

【解析】（1）令y=-1，则f（-x）=f（x）·f（-1），

故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数.

以上解题思路体现了将抽象问题特殊化、具体化的思想，使得抽象的问题不再抽象而变得简单，不难发现通过与具体的函数建立对应关系可很快得到正确答案.在解决抽象函数问题时，赋值思想贯穿始终，往往是利用赋值思想开路，利用函数性质搭桥，二者融会贯通，解题事半功倍.

参考文献：

[1]黄红.浅谈高中数学概念的教学方法[J].广西右江民族师专学报，2003（6）.

[2]胡中双.谈高中数学教学中创造性思维能力的培养[J].湖南教育学院学报，2001（7）.

[3]吕佐良.高中数理化.2005（6）.