列方程的方法与技巧

杨海俊

摘 要： 宇宙间从宏观到微观，事物之间相互有一定的数量关系.其中，方程是它们的关系之一.寻找等量关系是列方程解应用题的关键步骤，而设定待定未知数又是列方程的关键.

关键词： 列方程 方法 技巧

宇宙间从宏观到微观，事物之间相互有一定的数量关系.其中，方程是它们的关系之一.寻找等量关系是列方程解应用题的关键步骤.而设定待定未知数又是列方程的关键.如何设待定未知数，也就是如何设元.当然是先审题，了解已知条件和所要解决的问题及问题的个数.如果是一个问题，首先考虑一元方程解决的方案，如果是多个问题则考虑多元方程组解决的方案.

1.直接设元法

就是将要解决的问题直接设为待定未知数，然后把设定的未知数和已知的条件转化为数学问题列等式，即列方程或方程组，通过解方程或方程组解决实际问题.如：列一元一次方程解应用题，首先要根据题意及题中的数量关系，找出能够反映应用题全部含义的一个相等关系，然后再设未知数布列方程求解.对于条件表达不够明确的应用题，可用如下的方法寻找相等关系.

（1）动态问题静止看.静态的问题是指题中关系对应的量处于相对稳定的状态，而动态的问题则是指题中条件所表达的是不断变化的相等关系，对于这类问题，要善于在动中取静，以静制动.

例1：甲乙两人同时从A、B两地出发，A、B两地的距离为2100m，甲骑自行车，平均每分钟骑260m，乙跑步，平均每分钟跑160m，问经过多长时间后相遇？分析：甲、乙两人出发后，所走过的路程、时间都在发生变化，但A、B两地的距离是固定不变的，是一个静态量，即甲与乙走的路程和为2100m，据此，可布列方程求解设两人经过x分钟相遇，根据题意，得260x+160x=2100.解得x=5，即经过5分钟两人相遇.

（2）虚实相生关系.在应用题中，除了有实实在在的条件外，有时还要人为地虚构一些条件，帮助我们寻找相等关系而解题.例如设辅助未知数（又称参数），它在题目的条件中没有给出，在解答的结果中也不存在，但正是这些虚拟的条件，却起到了“桥梁”的作用.

例2：某超市在“十一黄金周”期间为了促销一批库存的商品，先将该商品提价40%，然后再打折销售，为了使该商品打折后与调价前的销售价格相同，问该商品应按几折销售？分析：此题要求“该商品按几折销售”，但题目中没有直接给出涨价后的价格，由题意知，涨价后的价格与原标价有关系，若将原标价设为a元，进而可将涨价后的价格表示出来，使得题目中的数量关系明朗化，根据提价并打折后销售价格与原标价相等，即可列出方程.设该商品的原标价为a元，提价40%后应按x折销售，根据题意得a（1+40%）x%=a.解得x≈71，即该商品应按七一折销售.

2.间接设元法

就是当用根据设定的未知数和已知的条件列不出方程或方程组时，就要换思路间接设元.也就是用直接设元法解决不了问题时，把与要解决问题相关的条件设元，然后列出方程或方程组，求出间接设元未知数的值，为解决初始问题创造条件.有时按这个间接设定的待定未知数也列不出相关的方程或方程组，就换与初始问题相关的其他条件设元.如果还是列不出相关的方程或方程组，就又要换思路，把与初始问题相关的条件姑且视为二级初始问题，又把与二级初始问题相关的条件设元，然后列方程或方程组求二级初始问题的值.这样逐级逐层地间接设元，直到解决问题为止.对于条件表达不够明确的应用题，可用如下的方法寻找相等关系，下面列举两个简单的例子.

（1）变化之中找不变.许多问题情景是在不断变化的，但在变化的问题情景中，肯定存在着不变量，找到这个不变量，我们就可以根据相等关系布列方程.

例3：陇西县教育系统组织全县骨干教师去外县参观学习，若单独租用46座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用62座的客车，则可以少租一辆，且空余2个座位，试问该这次去外县参观学习去的有多少人？

分析：无论采用哪种租车方式，去参观学习去的人数是不变的，故可以此为相等关系，即租46座客车的坐车人数=租62座客车的坐车人数，采用间接设元的方法布列方程求解，设租46座客车x辆，则租62座客车（x-1）辆，根据题意得46x=62（x-1）-2，解得x=4.于是46x=46×4=184（人）.即这次去外县参观学习去的有184人.

（2）挖掘隐含条件.显性的相等关系是指根据所给的条件及所学的公式、性质、定律等一目了然就能看出的相等关系，而隐性的相等关系则是指问题中有一些隐含的条件，这类条件如果不认真去挖掘、分析，摆到“桌面”上，就不能清晰地看出其中的相等关系.

例4：杨溪与杨河姐弟俩，杨溪对杨河说：“当我像你这么大年龄时，你就21岁了，而当你到了我现在的年龄时，我就27岁了”根据以上对话，你能算出杨溪与杨河两人现在的年龄吗？分析：此题初看似乎没有明显的等量关系可寻，但生活经验告诉我们，年龄问题中隐含着的条件是“要长都长”，也即杨溪与杨河两人的年龄差不变据此条件，并借助于线段图：

杨溪过去年龄-杨河（21岁）=年龄差

杨溪现年-杨河现年=年龄差

杨溪27岁-杨河年龄（增长）=年龄差

可知题目蕴藏着的等量关系是：3×年龄差=27-21.设兄弟两人的年龄差为x岁，根据题意，得3x=27-21，解得x=2.于是杨河的年龄为2+21=23（岁），杨溪的年龄为27-2=25（岁）.

常言之，熟能生巧，所以知道方法和技巧，并不一定对列方程、方程组和因式分解就得心应手，贵在多练习和思考，只有在练习和思考中，才能不断进步.