初中数学开放性题目初探

曾黄 淑芳

一、数学开放题的定义

数学开放题是相对于传统的封闭题而言的，数学中的封闭性问题一般是指问题的条件和结论都是完全确定的，而且是不多不少的.而数学开放题是指那些答案不唯一确定，并且要求学生多角度、多方面进行探索的一类数学问题.

二、开放性题目的特征

与常规题相比，开放性题目的条件或结论是往往是不确定的、不唯一的，它给学生留有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间.它的主要特征如下。

（1）不完备性：一个开放题的条件可以是不足的，也可以是多余的.条件不足时需要学生进行补充，条件多余时需要学生从中选出有用的条件.

（2）非常规性：解开放题时，往往没有一种特定的解题模式，在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索.

（3）创新性：有时一个题目需要采用一种新的解题方法或开拓一个新的研究领域.

（4）发散性：在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括性的结论.

（5）能激起多数学生的好奇心，全体学生都可以参与解答过程，不管他属于何种程度和水平.

（6）教师难以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中扮演的角色是示范者、启发者、鼓励者和指导者.

三、数学开放性题目的主要类型

（一）探索发现型

1.规律性探索

请将你找出的规律用公式表示出来？摇？摇？摇  ？摇？摇？摇.

探索规律的题目是近几年常见的一種开放性题目，主要考查学生运算、观察、发现规律的能力.解决这类问题的方法是：先从简单的式子入手，观察数字（或等式、不等式两边的数据）随着“序号”、项数的增加而变化的情况，找出异同，分析、发现、探索变化的规律，得出一般性结论.

2.条件开放题

条件开放题是指问题的条件具有不确定性，满足结论的条件不唯一.在此基础上，我们又可以把条件开放题分为条件不足型和条件多余型.

①条件不足型

所谓条件不足型是指问题条件不足，满足结论的条件不唯一，需要从多方面考虑才能正确解决这类问题.

例2：已知二次函数的y=ax+bx+c图像经过A﹙0，a﹚，B﹙1，-2﹚？摇    ？摇？摇？摇，求证：这个二次函数图像的对称轴是直线x=2.题目中的矩形框内的部分是一段被墨水染污了无法辨认的文字.

1.根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式？若能，写出求解过程;若不能，说明理由.

2.请你根据已有的信息，在原题中的矩形框内填加一个适当的条件，把原题补充完整.

（2）可供补充的内容有：①满足函数解析式的任意一点的坐标;②a=1或b=-4或c=1;③顶点坐标为（2，-3）.

②条件多余型

所谓条件多余型开放题是指问题中条件过剩，许多有用和无用的条件都混杂在一起，对学生解题形成干扰.

例3：在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：;③∠A=∠A′;④∠C=∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（    ）组.

A.1    B.2    C.3    D.4

分析：有3组：①和②;③和④;②和④.

3.结论开放题

结论开放题是指在给定条件下，结论不唯一，学生可以根据条件或情景将所有可能的结果一一分析得出.

例4：一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）作为另两边，有几种不同的截法？

分析：根据“三角形任意两边之和大于第三边”，只能用50cm截成两段，设截得的两段分别为xcm和ycm，则有以下三种情况：

解得：

x=10，y=25

4.存在性探索

例5：如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值;若不存在，请说明理由.

分析：设存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似.

依题意得：AM=tcm，DN=2tcm，AN=（6-2t）cm.

解存在型探索题的基本思路通常是先假设存在，然后根据存在进行推理或计算，找出必须满足的条件，再看这个条件题目中是否已具备，若已具备则存在，反之不存在.

（二）阅读理解型

例6：阅读题例，解答下题.

这个例题属于阅读理解型开放题，解决这类问题需要学生具有一定的阅读理解、接受新知识、认识新事物的能力，以及运用新知识解决实际问题的能力，解题的关键是仔细读懂题意，通过阅读探索解决问题的方法.

（三）规划决策、设计方案型

例7：某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件.已知生产一件A种产品，需用甲种原料9kg，乙种原料3kg;生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg.按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来.

分析：设安排生产A种产品件，则生产B种产品为（50-x）件，根据题意得

9x+4（50-x）≤3603x+10（50-x）≤290    解得30≤x≤32.

∵x为整数，∴x只能取30、31、32，相应的50-x的值为20、19、18.

答：生产方案有三种：①生产A种产品30件，B种产品20件;②生产A种产品31件，B种产品19件;③生产A种产品32件，B种产品18件。

随着新课程改革的不断深入，题目的呈现方式也在不断发生变化，一方面越来越贴近生活实际，另一方面对学生获取信息的能力、解决实际问题的能力的要求越来越高.这类题目具有较强的开放性、探究性，有利于培养学生的创新能力.

四、开展数学开放题教学对数学教学的意义

（一）开放题教学有助于培养学生的创造性思维

由于开放题的答案不唯一，在开放题的解答过程中，没有固定的、现成的模式可依循，学生必须打破原有的思维模式，学会从不同的角度考虑问题、发现问题，用多种思维方法（如猜想、联想、类比等）进行探索.因此，数学开放题教学对于学生的发散性思维的培养有着极大的促进作用，从而为学生创造能力的培养提供了可能.

（二）开放题教学有利于学生主动参与学习，实现数学课堂教学的民主性和合作性

开放性问题一般都具有一定的挑战性，能诱发学生的学习兴趣和学习动力.在数学开放题教学中，宽松、民主的课堂气氛有助于激励学生主动参与教学活动.学生经过自主探究、实践体验，就能充分展现自我，得到不同程度的发展.

（三）培养学生的非智力因素

开放题教学提倡以学生发展为本，教师只起到引导作用，讲究师生互动、生生互动，和传统的以教师为中心、强调知识传授、把学生当做知识灌输对象的教学模式大不相同.教师对学生的思维的限制减少了，学生能够更充分发挥自己的个性，有利于促进学生兴趣、情感、意志、性格等非智力因素的健康发展.

数学开放题不仅是一种习题形式，更重要的是一种教学思想.这种教学思想，反映了人们数学教育观念的转变，也适应了飞速发展时代的需求.没有奇思就没有创造，开放性题目就是让学生大胆思维，在探索性的思索中培养创新思维，提高数学素质.这是每一位数学教师都应该研究的课题.