一道自主招生题目的六种不同解法

相新蕾　周革润　石磊

题目 在真空中，质量为m1和m2的两个小球，只受万有引力作用，某个时刻，两球相距l0，m1的速度为v0，方向指向m2，m2的速度为v0，速度垂直于两球球心连线，问当速度v0满足什么关系时，两个小球的间距可以为无穷远.

解法一 把两小球视为一系统，只有引力做功所以机械能守恒，是动能转化为引力势能的过程，引力势能由-Gm1m2l0增加到0；又因为系统只受内力（引力），所以动量守恒，因此相距无穷远时两球速度不会变为零，即动能不会完全转化为势能，当两球共速时系统损失的动能最大（类比完全非弹性碰撞），如果在这种条件下损失的动能恰能等于相距无穷远系统需要增加的势能，即找到了该题目速度的临界值.

根据动量守恒有

m10+m20=（m1+m2），

v=m21+m22m1+m2v0，

根据机械能守恒有

-Gm1m2l0+m12v20+m22v20=0+m1+m22v2，

联立可解得v0≥2Gml0.

解法二 从能量的角度分析，两小球从当前位置到间距无穷远处是动能逐渐转化为引力势能的过程，但是两小球动能不会最终全部转化为势能，因为两小球相互作用过程中只受到内力，不受外力，所以质心应该做匀速直线运动，质心动能不会减少，始终为m1+m22v2c.

c=m10+m20m1+m2，

vc=m21v20+m20v20m1+m2

=m21+m22m1+m2v0，

根据机械能守恒有

-Gm1m2l0+m12v20+m22v20=0+m1+m22v2c，

联立可解得v0≥2Gml0.

解法三 该方法是由解法二衍生而来，选择质心参考系，只有引力做功，机械能守恒.

根据柯尼希定理可知，初状态两小球在质心参考系中的动能之和：

Ek′=Ek-Ec=m12v20+m22v20-m1+m22v2c，

末状态两小球在质心参考系中的动能之和变为零，根据机械能守恒有

-Gm1m2l0+Ek′=0+0，

联立可解得v0≥2Gml0.

解法四 选择m1为参考系，则在该非惯性系下m2的初速度大小v=2v0，受到引力F和惯性力F惯的作用，图2所示.

对于保守力F所做的功有

WF=-ΔEp=-Gm1m2l0，

惯性力 F惯=m2a1=m2Gm1m2l2m1=Gm22l2

=m2m1F，

惯性力所做的功WF惯=m2m1WF=-Gm22l0.

以m1为参考系，由于惯性力做功，所以机械能不守恒，根据质点系下的动能定理有

WF+WF惯=0-m22v2，

联立可解得v0≥2Gml0.

解法五 仍然选择m1为参考系，在解法三的基础上，把引力F和惯性力F惯等效为新的力F′，则有

F′=F+F惯=Gm1m2l2+Gm22l2=Gm1（m2+m22m1）l2，

令M=m2+m22m1，则F′=Gm1Ml2.

F′的形式和F的形式完全相同，可等效一保守力，即把第二个小球视为质量为M的小球，只受一个保守力的作用，因此机械能守恒.等效质量M是由于力而引进的，对求第二个小球的势能时有效，而求其动能时无效，根据机械能守恒有

-Gm1Ml0+m2v22=0+0，

联立可解得v0≥2Gml0.

解法六 仍以小球1为参考系，根据约化质量定义：μ=m1m2m1+m2，此时不需要引进惯性力，则系统的动能为μ2v2，v为小球2相对于小球1的相对速度，v=2v0，

根据机械能守恒-Gm1m2l0+μ2v2=0.

以上六种解法都能得到v0的临界值，v0应不小于该临界值，即

v0≥G（m1+m2）l0，

若m1=m2=m，则v0≥2Gml0.

方法一从动量守恒、机械能守恒出发，方法二从能量转化的角度出发，是学生最容易想到的两种方法，但是要注意动能并不会全部转化为势能，这两种方法从不同侧面给予了解釋；方法三采用质心参考系，后三种方法都采用非惯性系，其中方法四根据动能定理，方法五利用等效力解决了非惯性力做功，从而满足机械能守恒，方法六通过约化质量避免了惯性力.