两个几何公理引起的思考

黄炳福

初中数学教材里有两个重要的公理：一个是“两点间线段最短”，另一个是“垂线段最短”.它们对于解决动点问题中的路线最短问题是非常重要的工具.教者应多思考、多归纳，引起足够重视.

1.计算一个动点问题中的路线最短

教材中提出的问题：在一条河l的同侧有张庄A、李庄B，问在河边的什么位置建水泵站，使安装水管的长度和最短？

具体做法：如图，作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，点P为建水泵站的位置.

理由：连接PA，∵点A、A′关于l对称

∴PA=PA′

又∵PA=PA′

∴PA+PB=PA′+PB=A′B，则A′B的长为PA+PB和的最小值.

当P在直线l上另一个位置P′都会有P′A′+P′B>A′B（两点之间线段最短）.

思考1：已知一点P在∠AOB的内部，在OA，OB边上分别取一点M，N使△PMN的周长最小（将军饮马问题）？

具体做法：如图作P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″分别交OA、OB于M、N，则△PMN的周长最小.

理由：易证△PMN的周长为P′P″的长，由两点之间线段最短可知△PMN的周长最小.

思考2：已知两条线段AC与BD有唯一的公共点M，以A、B、C、D为顶点所构成的多边形中，面积最大时，求该多边形周长的最小值？分两种情况讨论.

①构成三角形时，设AC与BD的夹角为α，AC=a，BD=b，则S=absinα，当α=90°时S最大，即AC⊥BD.

∵C=AB+AD+BD=AB+AD+b

∴当AB+AD最小时，C最小.

作法：过点A作直线l//BD，作点B关于l的对称点B′，连接DB′交l于A，此时C最小.

理由：∵BD=b，AB=AB′，AB+AD=BD′

利用两点间线段最短可知C最小

∵直线l//BD，点B、点B′关于l对称，

∴B′B⊥BD.

在Rt△B′BD中，BB′=2a，B′D==，

∴C最小值为b+.

②构成四边形，易证AC⊥BD时，四边形ABCD面积最大.

由①得，AB=AD时，AB+AD最小.

CD=CB时，CB+CD最小.

BA=BC时，BA+BC最小.

DA=DC时，DA+DC最小.

∴当AC和BD互相平分时，四边形ABCD周长最小.

又∵AC=a，BD=b，

∴四边形ABCD是边长为  的正方形.

正方形ABCD周长=

易证

可知：构成多边形为正方形时，周长最小.

2.计算两个动点问题中的路线和最短

问题1：在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+BN的最小值是多少？

作法：作点B关于AD的对称点B′，再作B′N⊥AB于N交AD于M，则MN+MB最小.如下图：

理由：由对称性可知BM=B′M.

∴BM+B′M=B′B

又∵B′N⊥AB

∴点B′到AB两点的距离之和最小为B′N的长.

由两点间线段最短和垂线段最短得点B在AC上，易证△B′NB为等腰直角三角形.

问题2：如图已知矩形ABCD中，AB=12，AD=3，E、F分别是AB、DC边上的两个动点，则AF+FE+EC的最小值为多少？

作法：作A关于DC的对称点A′，C关于AB的对称点C′，连接AC，分别交DC，AB于F、E，则AF+FE+EC最小.如下图所示.

理由：由对称性可知：AF=A′F，CE=C′E，则AF+EF+EC=A′F+EF+EC′=A′C′.

根据两点间线段最短可知A′C′的长为AF+EF+EC的最小值.

作C′M⊥AA′延长线于点M，易知AA′=9，MC′=12，

在RT△A′MC′中，A′C′==15.

在此就两个公理的简单应用列举了一些实例，给大家研究路线最短问题提供了一个思路.路线最短问题是中考的热点，并且是在实际应用中测量路线最短问题的一个重要工具，因此广大师生应重视此知识点的教与学.

基金项目：陕西省教育规划项目（SGH12447）.