数学思想在大学课堂教学中的渗透

张律文　王令群

摘 要： 在高校课堂教学过程中，数学思想的渗透是当前教育教学研究中的一个新课题，也是提高教学质量的又一重要途径，它有助于进一步发展学生的智力和思维能力，培养学生的积极创新意识.本文就数学思想在大学教学活动中的渗透方法和若干应用范例作探讨，分析渗透数学思想的重要意义.

关键词： 数学思想 大学课堂教学 渗透方法

新世纪中国大学生迎来了更多的机遇和挑战，快速发展的时代对当今大学生掌握知识的质和量有了更高的要求.著名科学家华罗庚说：“只教会了学生知识，没有发展学生思维的教师不是好教师.”在当今大学课堂教学中，大学生思维能力的培养与数学思想的渗透有着更紧密的联系.从某种意义上说，在课堂教学中渗透数学思想比单纯地传授某一知识更重要，它不仅能提高学生分析和解决数学问题的能力，还能启发和帮助引导学生将这种能力迁移到对其他学科的学习和深层研究上，从而让学生终身受益.

一、常用的几种基本数学思想

数学思想是对数学概念、理论和方法的本质认识.大学教师只有明确了各种数学思想的含义和本质，才能在课堂教学中得心应手地渗透这些思想.常用的基本数学思想有以下几种：

（一）分类思想

分类思想是依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种数学思想.如空间解析几何与向量代数中的向量线性运算、向量积、曲面及其方程等内容的分类，几何图形及其位置关系的分类，数学分析中的极限、导数和微分、积分等内容的分类.分类思想还体现在概念的定义中，如函数间断点的分类：

函数间断点第一类间断点可去间断点跳跃间断点？摇第二类间断点无穷间断点振荡间断点？摇

运用分类思想时，要注意分类的对象既不重复又不遗漏，还要注意每次分类必须保持同一标准.例如对“推理”这一概念的分类，如果按照推理的运动过程划分，则推理可以分为归纳推理、演绎推理和类比推理三类；如果按照其结论真实程度划分，则推理可分为可靠推理（结论为真）与似真推理（结论可能真，也可能假）两类.

分类思想的运用有助于学生归纳和巩固所学的知识，使知识更条理化、系统化，从而形成一个网络化的知识结构.同时，还有利于提高学生的解题思维能力，在解答较复杂的问题时可以运用分类思想，把复杂问题分解成几个简单问题，从而找到问题解答的正确途径.

（二）类比思想

类比思想是指在两类不同的事物或两个不同的数学问题之间进行比较，找出若干相同或相似点以后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方法.类比思想在数学教学中有着广泛应用，具体表现在数与式之间、平面与立体之间、一元与多元之间、低次与高次之间、相等与不等之间、有限与无限之间.数学中有不少定理、法则往往是先用类比的思想方法引入，然后加以严格证明的.比如在平面直角坐标系下有：直线的一般方程，Ax+By+c=0；

通过类比但未得到证明所引出的结论并不一定真实，需经演绎证明.尽管如此，它在课堂教学中仍有着举足轻重的作用.

1.解释性作用

类比能把已知对象的明确性和可理解性迁移到所研究的对象上，使学生更易于理解那些较难的知识.比如，设力F与位移S成θ角，物体在力F的作用下产生位移S，因而力F对物体所做的功为|F|·|S|cosθ.此例说明，力对物体所做的功，可以看做力F和位移S这两个向量的某种运算的结果.类比这个例子的明确性和可理解性，引出向量数量积的概念，可以使学生加深对该概念的理解，从而使所学知识更巩固、更扎实.

2.探索和发现作用

如前所述，与平面里的点与线、线与线的关系类比，学生可以探索在空间里点、线、面相互间的关系和性质，并通过类比得出一系列结论（推测性的），然后深入探讨并加以论证，会掌握一部分结论的真假，从而激发学生进一步探寻和发现新知识研究新知识的兴趣.

学生在运用类比思想解决问题时，根据需要，有时对概念、结论进行类比，有时对方法进行类比.

（三）化归思想

在数学研究中，对一个新问题进行变形、转化，直至把它化归为某个已经解决的问题或容易解决的问题，这种解决问题的思想叫做化归思想.如解析几何，就是将几何问题通过建立直角坐标系化归为代数问题，再由代数问题化归为方程求解问题.

教师在课堂教学中渗透化归思想，可以帮助学生寻求解决新问题的突破口，加深对知识内在联系的认识，训练学生思维的灵活性，培养学生辩证分析的观点，使学生认识到事物都是可以互相转化的.各学科的学习也是如此，关键是把握事物间的内在联系，寻求问题转化的途径.一旦完成了转化，问题就纳入到了一个熟悉的渠道，解决起来自然水到渠成.

（四）归纳思想

研究一般性问题时，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从中归纳发现一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方法被称为归纳思想.很多数学知识的发生过程就是归纳思想应用的过程.运用归纳思想，可以培养学生观察事物、归纳发现规律的能力；可以培养学生透彻分析、概括事物的能力，从而使学生对有关知识的认识更深入，理解更透彻.

二、数学思想渗透的途径及方法

明确了常用的基本数学思想的含义，那么在课堂教学中如何渗透呢？笔者认为，应抓住整个课堂教学的全过程.在教学过程中，不失时机地进行渗透.课堂教学的过程是师生共同活动的过程，教师要精讲，学生要精练.教师传授知识，讲解题目，揭示解题规律；学生应同步思维，巩固知识，进行技能训练.具体说来，有以下几条途径：

（一）教师在传授知识时渗透

数学知识包括数学概念、公式、定理……这些知识的形成，都有一个过程.教师在课堂教学中，应重视知识形成的过程.在其中渗透数学思想，是一条重要的渗透途径.任何知识形成的过程，一般都是由感性到理性，由具体到一般，由旧知到新知，由简单到复杂……根据这一规律，教师可以渗透归纳思想.根据知识由旧知到新知，由简单到复杂的形成规律，反过来逆向思维，新知也可以化归为旧知，复杂也可以化归为简单，教师可以渗透化归思想.下面就归纳思想和化归思想在传授知识时的渗透方法举例如下：

1.归纳思想的渗透

由上述两例看出，渗透化归思想的关键应抓住两点：一是明确朝什么方向化归，即化归成什么问题；二是采取什么手段和方法化归.抓住了以上两点，化归的目的就达到了.

（二）教师在对学生进行技能训练时渗透

在将数学思想渗透到教学过程中，师生共同活动，教师主导（设问、启发、引导）、学生主体（动口、动手、动脑）、训练主线（思维、技能、训练），一一得到充分体现，课堂气氛活跃.对学生进行技能训练或实验课教学中，抓住训练良机，再一次向学生渗透数学思想.因此，教师的任务主要是设计好体现数学思想的训练课题和实验方案，让学生通过训练或实验，激发思维，更好地掌握运用数学思想，增强应用能力和实践能力，进一步树立积极创新的意识.

数学思想在课堂教学中的渗透，自然对教师提出了更高的要求：既要加强学习，不断提高专业水平以适应教学需要；更要认真钻研教材，挖掘教材中渗透数学思想的因素，设计好如何“渗透”的具体措施和体现数学思想的技能训练习题.

综上所述，数学思想在课堂教学中的渗透，大大调动了学生在学习中运用数学思想的积极性，使学生分析和解决数学问题的能力得到了迅速提高，有助于进一步发展大学生的思维能力、研习能力和创新意识，同时也为课堂教学的改革和教学质量的提高起到了极大的促进作用.笔者深信：只要全体教师都认真研究它、实践它，不断探索，不断总结，那么数学思想在课堂教学中的渗透，必将大大提高大学教学质量.

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注：本文所举教学实例均参考《高等数学》（同济大学应用数学系主编）（高等教育出版社）（普通高等教育“十五”国家级规划教材）版次：1978年3月第1版2002年7月第5版印次：2005年11月第17次印刷.