竖直平面内圆周运动的临界问题分析

曾文 周朝彪 桂朝觐

竖直平面的圆周运动是高中物理的重难点内容，由于此类题型涉及变速曲线运动及牛顿定理的灵活运用，因此学生对其较难掌握，为了让学生对此类问题能有更清晰的认识和理解，下文就此类问题分四种情况进行讨论。

一、绳拉球模型

一轻质绳半径为r，绳端系一质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动的受力分析。

1.最高点，如图1所示：

（1）由于轻绳只能提供拉力，在最高点对小球受力分析，因此临界条件为刚好由重力提供向心力，由牛顿第二定律可得：

mg=m■ ①

此时小球恰好能过最高点，临界速度为

v=■ ②

（2）当v<■时，小球不能通过最高点。

（3）当v≥■时，小球可以通过最高点。可以看出，当小球运动速度越快时，其轻绳拉力越大。

2.最低点，如图2所示：

由牛顿第二定律可得

F■=F■-mg=m■ ③

由此可见，当小球的运动速度越大时，轻绳拉力越大。

二、杆模型

一根长为r的轻杆，其一端与一质量为m的小球相连，小球在竖直平面内做圆周运动。

1.最高点，如图3所示：

由于轻杆与轻绳不同，除了可以提供拉力之外还能提供支持力，因此其受力：

F■=mg±F■=m■ ④

（1）当V=0时，小球的重力和杆对小球的支持力满足二力平衡，小球刚好能通过最高点。

（2）当④式取减号时，轻杆对小球的作用表现为支持力，此时小球速度越大，轻杆支持力越小，当v=■时，F■=0，即只由重力提供向心力。

（3）当④式取加号时，即v≥■时，轻杆对小球的作用表现为向下的拉力，此时小球速度越大，轻杆拉力越大。

2.最低点，如图4所示：

最低点时与轻绳情况相同，均表现为拉力，小球速度越大时，轻杆对其的拉力越大。

三、圆轨内侧运动模型

一内壁光滑半径为r的圆环竖直放置在平面内，质量为m的小球沿其内表面做圆周运动。

1.最高点时的情况和绳拉球模型一样，如图5所示即可得出：

（1）当v=■时，此时速度为临界值，小球刚好能通过最高点。

（2）当v<■时，小球不能通过最高点。

（3）当v>■时，小球可以通过最高点且对壁有压力。

2.最低点，如图6所示：

这时由③式可知；小球运动速度越大，则内轨的支持力越大。

四、小球在竖直管内做圆周运动

一内壁光滑竖直放置的半径为r圆管形轨道，质量为m的小球在其管内做圆周运动，小球直径略小于管内径。

1.最高点，如图7所示：

此模型和轻杆模型一样，轨道可能受小球的压力和支持力，牛顿方程和④相同。

（1）当v=■时，此时只由重力提供向心力，小球不受轨道的作用力。

（2）当v<■时，管道对小球表现为内管壁对小球的向上的支持力。

（3）当v>■时，管道对小球表现为外管壁对小球的向下的支持力。

（4）当v=0时，物体刚能过最高点；即为过最高点的临界条件。

2.最低点，如图8所示：

这时由③式可知；小球运动速度越大，则轨道对小球的支持力越大。

总结：分析圆周运动时，找准向心力的来源尤为重要；竖直平面内的圆周运动在最高点和最低点问题的求解关键就是对质点（小球）进行受力分析得出向心力即为合外力（F■），再由牛顿第二定律列出方程即可求解。