拓展过广 错误难免

魏老师在《一类与三角形相似有关的开放型问题的一般结论》[1]中，结合特殊三角形性质，全等与相似的判定方法等知识，把问题进行拓展推广，得出了一般解法与结论，阅后颇有收获，但细细揣摩后，发现文中的拓展延伸问题条件多余，其结论也存在错误，特此提出商榷.

原题如下：

（1）探究发现：

如图1，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在边AB上，AB与EF的中点都是点O，连接BF、CD、OC，当C、F、O在同一条直线上时，你发现BF与CD的数量关系是 .

（2）深入探究：

在（1）问题探究过程中，受（1）中问题启发，小刚同学将图1中的Rt△DEF绕点O旋转得到图2，并猜想BF=CD成立，请你给出证明.

（3）拓展延伸：

如图3，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点仍为点O，此时BF=CD还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，当AB=m，EF=n时，请求出BF与CD之间的数量关系.

图1 图2 图3（1）（2）的结论与证明我完全赞同，但（3）拓展延伸时，其题目的已知条件AB=m，EF=n有些多余，其结论也有问题.魏老师认为连接CO、OD，通过证明△BOF∽△COD，则BFCD=ODOC=nm，故BF=nmCD.而实际上BFCD的值与AB、EF的长度没有关系，因为BFCD的值始终等于33.

利用两边对应成比例且夹角相等的方法易证得△BOF∽△COD，则BFCD=OFOD=BOCO=tan30°=33，BF、CD分别是△BOF、△COD的两边，而OD、OC都是△COD的边，因此不可能得到BFCD=ODOC.

通过这个问题得出的一般结论也是错误的，即使是在一般的等腰三角形中，BFCD的值等于tanα2（α为等腰三角形的顶角），它只与等腰三角形的底边与底边上的高的比值有关，而与两个相似的等腰三角形的底边的长度没有关系，相应的由此推出的另一个结论也是错误的.

我们在对例题或习题进行拓展延伸时，要考虑条件是否缺一不可，不可盲目添加条件，否则会给解题者带来困惑甚至引向错误的方向.

参考文献

[1] 魏祥勤.一类与三角形相似有关的开放型问题的一般结论[J].中学数学杂志，2014（10）：35-36

作者简介 李小兰，女，1974年生，中学高级教师，湖南省常德市初中数学骨干教师.

2014年度人大《复印报刊资料·初中数学教与学》

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