探索性问题的主要考查类型析解

徐金艳

探索性问题就是问题的条件或结论不直接给出，需要经过观察、分析、推理、化归、特殊化、一般化、数形结合及猜想等一系列的探索活动，才能确定要求的条件或结论.该类试题的总体特点是：给出命题的结论，探索该结论成立的条件；或给出命题的条件，探索命题的结论；或给出一些特例，探索寓于这些特例中的一般规律；或给出一个真命题，适当改变这个命题的某个条件时，探索命题的结论是否仍然成立，也就是相应的条件探索型、结论探索型、规律探索型和存在性探索型等问题.最近几年的中考数学试卷中经常出现这类问题，常常被作为压轴题考查学生的综合能力，学生解答这类问题时有一定的难度，得分不高.下面结合具体题目进行分析.

1 探索性问题的常见类型

1.1 条件探索型

解决这类探索型问题的总体思路是采用分析法，把结论看作已知进行逆推，探索结论成立所需要的条件.

例1 （2014年天津市）已知反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的k的值为 .

析解 反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象的位置取决于k与0的大小关系.当k>0时在第一，三象限，否则在第二、四象限.本题已知反比例函数y=kx的图象位于第一、第三象限，则有k>0，答案不唯一.题目要求写出符合条件一个的k的值便可以.所以可填1，2，13等，只要是正数即可.

点评 考题为开放性问题，答案不唯一.主要考查反比例函数图象的性质：（1）k>0时，图象是位于一、三象限；（2）k<0时，图象是位于二、四象限.

1.2 结论探索型

解决这类探索题的总体思路是先假定结论存在，并以此进行推理.

例2 （2014年山东烟台）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.

（1）如图1，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）

（3）如图3，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；

（4）如图4，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若AD=2，试求出线段CP的最小值.

图1 图2 图3 图4析解 （1）AE=DF，AE⊥DF.先证得△ADE≌△DCF.由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是.（3）成立.由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，如图5，则∠CDF+∠ADG=90°，所以∠ADG+∠DAE=90°.所以AE⊥DF.

图5 图6（4）如图6，由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧.设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△ODC中，OC=CD2+OD2=22+12=5，所以CP=OC-OP=5-1.

点评 本题主要考查了四边形的综合知识.类似这样分为几个小题目的探索性问题，一般来说难度逐渐增加.解答时，第（1）小题是关键，是后面几问的基础，也是探索的起点.对于第（4）题要认真分析，发现点P在运动中保持∠APD=90°不变是非常关键的一步，有了这一发现就不难得到点P的路径是一段以AD为直径的弧的结论，从而用勾股定理得到线段CP的最小值5-1.

本题给我们的启示主要有三点：一是强化四边形有关基础知识的复习，从整体上认知本章内容.二是加强对数学思想方法的训练和强化，与四边形有关的数学思想有：转化的思想；方程的思想；变换的思想；性质和判定的互逆性.三是注意把四边形的知识与其它知识的有机结合.

1.3 规律探索型

解决这类探索题的总体思路是通过观察、分析、归纳，从而发现寓于某些特例中的一般规律.

例3 （2014年安徽省）观察下列关于自然数的等式：

32-4×12=5， ①

52-4×22=9， ②

72-4×32=13， ③

……

根据上述规律解决下列问题：

（1）完成第四个等式：92-4×（ ）2=（ ）；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性.

析解 由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得第四个等式应为92-4×42=17；第n个等式为：（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1.由完全平方公式可以给出证明.

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题.

1.4 存在性探索型

这里的“存在”主要指是否存在某一个特殊的“点”，它符合某些特指的要求.解答这类问题的关键是首先根据条件，凭“直觉”猜想出存在这样的点，然后说明理由.

例4 （2014年江苏泰州）如图7，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-34x+b（b为常数，b>0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方.

图7（1）若直线AB与CD有两个交点F、G.

①求∠CFE的度数；

②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；

（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

析解 （1）①如图8，连接CD，EC，因为DE是直径，所以∠DCE=90°，因为CE⊥DE，且DO=EO，所以∠ODC=∠OEC=45°，所以∠CFE=∠ODC=45°.

②如图9，作OM⊥AB点M，连接OF，根据OM⊥AB及直线AB的函数式为y=-34x+b可得OM所在的直线函数式为y=43x，易求得点M（1225b，1625b），所以OM2=（1225b）2+（1625b）2，利用勾股定理可得到所以FM2=OF2-OM2=42-（1225b）2-（1625b）2，从而得到所以FG2=4FM2=4×[42-（1225b）2-（1625b）2]=64-6425b2=64×（1-125b2），因为直线AB与CD有两个交点F、G.所以4≤b<5.

图8 图9 图10（3）如图10，①当b=5时，OH=OC=4，则AB与⊙O相切，切点为H，此时存在点P，就是点H，计算得P点坐标为（125，165）；②当b>5时，OH=45b>4，所以AB与⊙O相离，所以P点一定在⊙O外，连接PE、PC，设PE交⊙O于Q，则∠EPC<∠EQC=45°，所以当b>5时，点P不存在.

故当b=5时，满足条件的P点坐标为（125，165）；当b>5时满足条件的点P不存在.

点评 本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时k的关系.第（2）问是存在性问题，需要利用圆的有关知识先作出判定存在这样的点P，然后观察发现点P是OP与AB的交点，进而确定交点坐标，得到证明.这是同学们感到困难的地方，也是平时教学中容易忽视的地方.教师应加强这方面的训练，努力改进学生的学习方式.

2 命题趋势

通过以上的分析，笔者认为2015年关于探索性问题，主要体现在以下几个方面：

2.1 用探索性的问题考查学生对基础知识的掌握情况

《课标（2011年版）》规定的课程内容，特别是“核心”概念，如实数的有关知识、方程（组）的求解、函数关系的确定、图形的变换、图形与坐标及图形性质探索与证明等都可以用一定的方式让学生去探索得到.这比直接考查学生对这些基础知识的掌握情况更有价值.

2.2 结合探索性问题对数学思想进行考察

《课标（2011年版）》已把一些常用的基本的数学思想作为重要的基础知识来要求学生掌握，正因为数学思想就是基础知识，所以直接考察学生对数学思想的掌握情况的题目并不多，命题者越来越愿意把对数学思想的考察放到“探索性问题”里面，这样的探索性问题的解答必须依赖一些重要的数学思想，如函数思想、数形结合、分类讨论等，不会应用这些数学思想就无法解答这样的探索问题.

2.3 与图形的三种变换结合在一起

探索性问题常与几何变换联系在一起，几何变换的基本目标是通过对图形的改组，化不规则图形为规则图形，化一般为特殊，化隐蔽关系为明显关系.通过这样的“手段”来探讨图形在运动过程中哪些量和关系不变化，哪些量和关系变化，并从中找出规律.常用的三种变换是指平移变换、旋转变换和对称变换.

2.4 与运动型问题结合在一起综合考察同学们的数学能力

运动型问题往往是中考卷中的“压轴题”，运动型问题可分为点的运动和一个简单图形的运动，而点的运动又可分为一个点的运动和两个点的运动；简单图形的运动可分为平移运动和旋转运动.所有的动点问题都有一定的层次，能考察出学生对所学基础知识的掌握和综合运用知识分析问题、解决问题能力的情况，所以探索性问题常与“动”结合在一起，这样的问题能考查学生的综合数学能力.