高校图论课程的教学方法与模式

杨健

【摘要】本文分析了在高校开展图论教学的重要意义，指出现阶段图论教学中普遍存在的一些不足之处，并从教学内容、教学任务、教学形式等方面进行分析，探讨了图论的教学方法和教学模式。

【关键词】图论 组合数学 教学方法

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）08-0178-02

一、前言

在计算机科学和互联网技术的推动下，近几十年里图论取得了一系列发展成果。如今，图论的理论和方法越来越受到各行各业的广泛关注，它已逐渐成为解决工程、信息、交通、经济等各领域实际问题的重要工具之一。但不容忽视的是，在国内的许多高等院校，图论这门课程却没有因此得到足够的重视，在高校开设图论课程的专业很少。另外，在图论教学上也存在课时有限，教学方法单一，重理论轻应用，学生的学习积极性不高等问题，针对这些问题，本文深入分析图论开展的必要性及其重要意义，并对图论的教学改革，作了详尽的探讨和分析，提出几点教学思路和方法。

二、图论教学的重要意义

1.有利于提高学生的数学素养

相对于数学领域的其他课程，图论具有其鲜明的特点，体现在图论概念抽象深奥、研究对象结构复杂、逻辑推理严密、证明技巧性强，大多问题本身虽然朴素易懂，可是求解方法经常难以想到。正因此，图论理论的建立往往蕴含着巧妙的构造、创新的思维以及严密的逻辑推导。通过图论的学习，学生可以深刻地体会到人类思维的深邃广袤，领略丰富多样的数学证明方法，见识巧妙精细的图形构造，并有意识性地去掌握这些证明方法、构造技巧和思维方式，從而培养自己的数学逻辑思维能力和创造能力，进一步提高自己的数学素养和数学悟性。

2.有助于提高分析问题和解决问题的能力

图论是一门产生于实际且服务于实际的课程。特别是进入二十世纪以后，由于计算机科学技术的迅速发展，使得图论中许多复杂问题的求解成为可能，而在生产活动中所出现的其他领域的许多大规模问题又都可以转化成图论问题，因此，图论在实际生活当中的应用变得越来越广泛，例如信息传输问题、交通网络问题等等。学生在学习图论过程中，可以结合现实生活中的问题，分析如何将其转化成图论问题，并设计算法加以解决，以提高自己利用理论知识解决实际问题的能力。

3.有助于提高学生的算法设计和实现能力

图论中很重要的一部分内容，就是其中的经典问题及其有效算法，例如最短路问题的Dijsktra算法，最小生成树的Kruskal算法和Prim算法，二部图最大匹配的匈牙利算法，最大流的标号算法等等。在教学过程中，要求学生深刻理解这些基本算法，并尝试去编写算法的程序代码。同时，在此基础上，也可以适当地提出一些派生问题，启发学生学习如何设计算法，比如在学习最小生成树的算法时，可以要求学生设计求最小森林的算法。在现实生活中，解决其它实际问题的算法往往是以这些基本算法作为子算法，或在此基础上进行适当修改而成的。因此，通过图论的学习，可以提高学生对算法的理解和设计能力，强化程序代码的编写能力。

三、图论的教学方法探析

1.基本理论与实例相结合，准确把握理论的涵义

概念丰富难懂，理论抽象深奥，是图论的一大突出特点，学生常常因此望而生畏。要学好图论，必须首先要准确深刻地理解图论的基本理论。为了让学生做到这一点，在教学时，应坚持理论与实例相结合。讲解概念时，应首先让学生掌握概念的本质涵义，然后通过一些具体的图，让学生直观上就能准确理解概念。例如，若连通图 的顶子集 使得 不连通，则称 是 的点截集，仅仅掌握这个定义远不能深刻理解点截集的涵义，应通过图示的方法进一步说明，若 是 的点截集， 是 的所有连通分支，则当 时， 与 无边相连，而每个 与 之间必有边相连；倘若 是 的最小点截集，则抓住极小性，可知 中的每一顶点在每 个中必有邻点。

2.注重启发式教学，提高学生的主动性

由于图论理论抽象，结构复杂，又受到课时的限制，在课堂上，老师难以面面俱到。因此，在教学方式上，应当采用启发式教学，教师引导学生自觉思考。这一方面可以增加学生的学习兴趣，提高主观能动性，培养学生的自学能力；另一方面让学生自己深入学习各个知识点，在掌握好这些基本理论后，老师对原教学内容进行加深和拓展，从而进一步开拓学生视野，培养学生的创新思维能力。例如，在学完二部图求最大匹配的匈牙利算法后，提示学生一般图中的 -可增广链会出现什么情况，启发学生思考能否用匈牙利算法求一般图的最大匹配，然后自然地引出开花算法。通过这种启发式教学的方式，将学生的思维不断引向深处，并顺理成章地增加教学内容，能使学生更连贯更有条理地掌握图论知识，学习图论基本思想，理解图论的发展规律。

3.课堂讲授与上机操作相结合，培养学生实践操作能力

图论与实际应用联系非常紧密，而实际问题的解决依赖于算法的设计和实现，针对图论的基本问题及其算法，现已开发出一些相应的软件，如Lingo软件，Matlab软件的优化工具箱。在理论教学之余，应适当安排一些上机实验课，让学生熟悉这些软件的操作应用，并能解决一些实际问题。另外，在图论的教学过程中，还应兼顾培养学生独立设计算法及编写算法程序代码的能力，这既可以加深学生对基本算法的理解，同时也培养了学生分析实际问题和解决实际问题的能力。

4.图论与数学建模相结合，增加图论的应用性

传统的图论教学中，理论与实际脱离，学生在课堂上掌握了一大堆概念和理论，但是缺乏动手能力。促使学生将学到的知识用到实处，是图论教学的目的之一。数学建模是将数学知识应用于社会生产中的重要手段，在历年全国大学生数学建模竞赛中，有关图论的竞赛试题曾多次出现，例如1992年B题是求最小生成树，1994年B题是关于最大独立顶点集和最小覆盖等问题。可以说，图论现已成为解决实际问题的重要工具之一，在图论教学中将数学建模的思想、方法和技巧渗透其中是十分必要的，这样既可以激发学生的学习兴趣，又能启发学生自觉思考，培养学生的创新能力。

5. 板书讲授与多媒体课件相结合，让图论更加直观形象

由于图论的内容繁多，结论证明复杂，有时一个定理的证明需要很长的时间，所以在一学期内完成图论的教学，课时十分有限。图论的学习，最为重要的就是学习掌握图论的思维方式。传统的板书教学费时费力，需要花太多的时间书写文字，若能够制作成熟的多媒体课件，配合板书进行教学，不仅减少了老师的板书书写内容，同时还可以为学生呈现图论中各种各样精美绝伦的图，增强图论内容的直观性，让学生更容易理解。

四、结束语

图论在国内是一门相对年轻的课程，做好图论的教学工作任重道远。总的来说，各个院校各个专业应结合本身实际情况因材施教，以提高学生的数学素养为宗旨，以培养学生的思维能力、创新能力和动手能力为目标，选择适合的教学方法和模式。

参考文献：

[1]田丰，马仲蕃.图与网络流理论[M].科学出版社，1965.

[2]王树禾.图论[M].科学出版社，2004.

[3]谢政，戴丽，陈挚.关于图论课教学的思考[J].数学理论与应用，2005，25（4）：139-140.

[4]张清华，陈六新，李永红.图论教育教学改革与实践[J].电脑知识与技术，2012，8（34）： 8235-8237.

[5]向定峰.将数学建模的思想和方法融入图论课程教学中的一点尝试[J].重庆教育学院学报，2006，19（6）：28-31.