短波突发通信中的DFT频偏估计算法

游行远，杨平，徐彬彬，许利刚

(1.哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨150001;2.武汉船舶通信研究所，湖北武汉430079)

在短波突发通信系统中，由于发射机与接收机两端电台振荡器的不稳定［1］，导致收发两端载波之间存在频率偏差，以及无线通信中的多普勒频移，经过相干解调后得到的基带信号中通常存在频偏。频偏会直接导致接收信号中有用的信号成分功率衰减，导致系统误码率增大［2］，因此接收端必须进行频偏估计并补偿，以提高接收机性能。

基于离散傅里叶变换(DFT)类频偏估计算法分为粗估计与精估计2个步骤，粗估计利用DFT对频谱峰值进行定位，精估计也是目前此类方法的研究热点。Quinn［3］利用DFT频谱中的峰值谱线与次高谱线进行插值来获取对应的频率结果。Jacobsen［4］通过实验观测利用峰值谱线与相邻两条谱线之间进行插值，Candan［5］对Jacobsen的方法进行了理论推导，同时利用信号长度对其进行偏移修正提高了其性能。文献［6］中，Zakharov和Tozer提出了一种二分搜索方法，其性能可以逼近于Cramer-Rao界(CRB)，但是其需要在粗估计时对数据补零，并使用至少1.5N点DFT来获取更精细的结果。补零的方法使DFT频谱更加精细［7］，粗估计对真实频偏的定位更加准确，但其带来计算量的大幅度提升。

短波信道多集中于低信噪比条件，由于突发通信信号传输的时限性，用于符号同步，参数估计等数字信号处理的时间相对短暂，本文提出了一种基于DFT的迭代插值算法。粗估计时，采用非补零的DFT获取粗估计结果以减少计算量;精估计时，在频偏搜索区间内利用迭代与插值相结合的方法得到估计结果，并在迭代判决中引入误差补偿机制，从而保证算法性能。

1 信号模型

在短波突发通信系统中，一般利用训练序列来进行信号同步与参数估计，采用调制方式为MPSK。假设长度为L的训练序列为pk，k=0，1，…L－1，满足，发送端传输基带信号可以表示为

式中:T表示符号采样间隔，g(*)表示信号脉冲成形滤波器。

假设收发两端存在f0的频率偏差，接收基带信号可以表示为

式中:a0表示信号幅度;φ表示相位偏移，是一个确定的未知量;n(t)表示复数加型高斯白噪声(均值为0，方差为σ2)。假设理想同步条件下，接收基带信号经过匹配滤波器，并与本地训练序列共轭相乘可得

式中:〈·〉表示求内积，设定成形滤波器与匹配滤波器为平方根升余弦滤波，可得

因此，接受信号可表示为

式中:w(k)〈n(t)，g(t－kT－τ0)〉与n(t)有相同的统计特性，服从高斯分布，φ'=2πf0τ0+φ仍然为未知确定量，同时将频偏进行归一化得F0=f0T(以下不做特殊描述，频偏表示归一化频偏)，式(5)可简化输出信号为

因此，短波突发通信中的频偏估计可以等效于在高斯白噪声条件下对复正弦信号的频率估计［1］，则归一化的Cramer-Rao下界可表示为

式中:ρσ2表示信噪比。在频偏粗估计步骤中，对式(6)进行N点DFT变换，N≥L，当N大于L时进行补零，可得

式中:A=a0exp(jφ')，W(n)为噪声的傅里叶系数(服从0 均值，方差为Nσ2的高斯分布)［9］。DFT 的归一化分辨率为1/N。然而在实际系统中，真实频偏不一定为DFT分辨率的整数倍，可以表示为

式中:m表示DFT频谱峰值对应的刻度，δ∈［－0.5，0.5］表示真实频偏相对于DFT谱线偏差的小数部分。本文目标是在低信噪比条件下对δ的精确估计。

2 算法分析

在粗频偏估计的基础上，首先将DFT频偏峰值谱线与相邻谱线对应刻度定义为一个频偏搜索区间［m0－Δ0，m0+Δ0］，m0=m表示中心点，Δ0=1表示搜索范围。精估计主要结合迭代与插值方法来获取较小的搜索区间［mi－Δi，mi+Δi］，从而得到估计结果，其中i=0，1，2，…，Q表示当前迭代次数。算法分析过程中假设噪声为0，迭代中谱线可表示为

式中:δi=NF0－mi表示残留频偏，即每次迭代的估计值，当δi－Δi→0时，获取最大值得到估计结果。

当i=0时，直接利用DFT结果得到谱线峰值与相邻谱线，此时Δ0=1可得

式中:h=－1，0，1，当N≫h时

根据文献［4］的插值方法对δ进行估计得到

式中:δ0近视为δ的无偏估计，但在噪声影响下性能有一定的偏差，此处可求得较小的频偏搜索区间［m1－Δ1，m1+Δ1］，其中m1=m+δ0Δ0，Δ1=Δ0/4 。

当i＞0时，需要结合迭代判决与插值的方式在区间［mi－Δi，mi+Δi］内进行搜索估计。首先得相应的Y［n］与S［n］，n=mi－Δi，mi，mi+Δi，其中

对比这三点(n，S［n］)之间的相互大小关系，针对2种情况进行判决:

1)当S［mi］为最大值时，推断真实频偏有很大的概率属于区间［mi－Δi/2，mi+Δi/2］，即可得0.5，继续对这三点进行插值，当使用Jacobsen的插值方法对δi进行插值时，由于式(10)中，Δi＜1，分母无法抵消，同时由于噪声的影响，特别是低信噪比条件下，插值结果无法保证为了保证

因此，得到mi+1=mi+δiΔi，Δi+1=Δi/4 。

2)当两端S［mi±Δi］为最大值时，频偏属于区间［mi－Δi，mi－Δi/2］或［mi+Δi/2，mi+Δi］，即0.5≤通过采用次优的Newton插值方法［10］进行插值，得到，或由于上次迭代与插值算法误差导致搜索区间偏差。

针对这2种可能，利用上一次迭代过程中的历史值对本次迭代进行修正，引入误差补偿。

1)当S［mi－Δi］为最大值时，利用上一次迭代过程中的S［mi－1－Δi－1］与S［mi－Δi］，S［mi］进行非对称插值。由于mi=mi－1+δi－1Δi－1，Δi－1=4Δi，为方便计算设S［mi－Δi］点相对坐标为0，同时对Δi归一化，可得另两点 (－3－4δi－1)，S［mi－1－Δi－1］)，(1，S［mi－Δi］)，通过Newton插值计算得到

式中:S－=S［mi－1－Δi－1］，S0=S［mi－Δi］，S+=S［mi］，最后得到 δi=－1。

2)当S［mi+Δi］为最大值时，利用S［mi］，S［mi+Δi］与S［mi－1+Δi－1］进行插值同理可得

式中:S－=S［mi］，S0=S［mi+Δi］，S+=S［mi－1+Δi－1］，最后得到 δi=+1。

因此，得到mi+1=mi+δiΔi，Δi+1=Δi/4 。

当完成迭代插值算法，精频偏估计结果为

迭代插值算法具体过程可以描述为

1)利用DFT结果，获取频谱峰值m。

2)i=0，1，2，…，Q次迭代过程，当i=0 根据频谱峰值与相邻频谱，利用式(13)进行得到δ0，并得到迭代搜索范围。

3)当i＞0 时，在范围［mi－Δi，mi+Δi］内，利用式(14)求得S［n］，n=mi－Δi，mi，mi+Δi，并根据其大小关系进行判决:当S［mi］最大时，利用式(15)进行插值得到估计结果δi;当S［mi－Δi］为最大值时，利用式(16)进行插值得到，估计结果 δi=－1;当S［mi+Δi］为最大值时，利用式(17)进行插值得到，估计结果 δi=+1。

3 算法性能仿真分析

为了进一步验证算法性能，这里对其进行仿真分析，仿真中采用L=512训练序列，训练序列采用8PSK调制，信号成型滤波器为平方根升余弦滤波器，采用AWGN信道。粗估计中的DFT点数N=512，其中Zakharov的算法需要对数据补零，使用N=1024点DFT进行粗估计。迭代插值算法与现有相关算法主要进行3个方面的比较:

1)算法估计性能:信噪比［－20，20］dB条件下，F0的均方误差(MSE)。每一信噪比条件下，通过100 000次蒙特卡洛实验得到MSE，计算方式如下:

2)算法估计范围:同一信噪比条件下，设定δ∈［－0.5，0.5］，针对 δ的 MSE 性能曲线。

3)算法计算复杂度:对每一种算法的复数乘法次数以及复数加法次数列举。

图1给出了不同算法的F0的MSE和CRB理论线。图中，针对不同的算法，存在一个关于SNR的阈值，即低于阈值算法性能急剧恶化，高于阈值算法性能趋于平稳。Zakharov的算法补零后，存在 SNR为－11.5 dB的阈值，其他算法阈值则集中在 －10 dB。这是由于在粗频偏估计中，Zakharov的算法使用N=1024点DFT，使估计结果更加细密，对真实频偏的定位更加精准，可获取更低的阈值，但是带来计算量成倍的增加。同时Zakharov算法补零之后，精频偏估计使用Q=5次迭代，在SNR＞－4 dB时，算法的RMSE值会偏离CRB理论线，需要使用Q=10次迭代性能可逼近CRB。本文提出的迭代插值算法，在信噪比高于阈值－10 dB的范围内，利用Q=2次迭代即可逼近CRB。

图1 不同算法的MSEFig.1 The MSE of different estimators

图2(a)给出了SNR为3 dB条件下，δ的MSE性能曲线。在N=512条件下，Jacobsen算法性能与Candan算法基本相当，当δ越接近0时，性能越好，反之性能变差。而Zakharov非补零算法，由于进行频偏精估计时，利用DFT谱线最大值的2个相邻谱线进行判决真实频偏的落入区间，当δ接近0时在噪声的影响下，容易产生误判，从而导致误差。而迭代插值算法通过插值频偏搜索区间，进行插值迭代搜索很好的解决了这个问题，同时仿真表明在δ∈［－0.5，0.5］区间内，迭代插值算法都有很好的MSE性能。

图2(b)给出了SNR为－5 dB条件下，δ的MSE性能曲线。对比图2(a)和(b)，Zakharov补零算法当Q=5时，性能出现偏差并随着信噪比增加，偏差更为明显。仿真表明，迭代插值算法在低信噪比条件下依然有相对较好的性能。

表1针对算法的计算复杂度进行了分析，表中分别针对粗估计与精估计部分进行了列举。其中粗估计主要针对DFT点数N，需要(N/2)log2N次复运算，其中Zakharov补零算法需要更多的DFT点数。针对精估计，主要利用乘法运算M、加法运算P表示。如表1所示，在相同性能的条件下，相对于Zakharov算法Q=10时，迭代插值算法因为使用更少的DFT点数以及迭代次数Q=2，从而减小了计算复杂度。

图2 在信噪比3dB和－5dB条件下，不同δ的MSEFig.2 The MSE for different δ at SNR=3/ －5dB

表1 算法计算复杂度Table 1 Computational load of algorithm

4 结束语

基于DFT类方法，提出了迭代插值频偏估计算法，该算法主要集中研究低信噪比条件下频偏估计问题，频偏估计范围，以及计算复杂度的问题。仿真结果表明，针对L=512的训练序列，该算法在信噪比－10～3 dB下频偏估计性能可以逼近CRB理论线，适合短波突发通信的信道环境。算法相对于Quinn、Jacobsen等插值类算法具有更高的精度，同时与Zakharov算法采取Q=10迭代时性能相当，而且具有较宽的估计范围，在计算复杂度方面，相对于插值类算法计算量要高，但相对于Zakharov算法采取Q=10迭代具有更小的计算复杂度。

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