应用Lagrange方程研究刚弹耦合动力学

梁立孚，宋海燕，郭庆勇

(哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院，黑龙江哈尔滨150001)

从十八世纪开始，在力学发展史上出现了与牛顿的矢量力学并驾齐驱的另一力学体系，即Lagrange于1788年在巴黎正式出版的不朽名著《Mecanique Analytique(分析力学)》［1］。这个体系的特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析。1834年和1843年W.R.Hamilton建立了Hamilton原理和正则方程，把分析力学推进一步［2］。

如何将经典分析动力学应用于连续介质力学的问题，一直是各国学者关注的研究课题，经过200多年的努力，取得丰硕的研究成果。由这些研究成果明确地反映出，应用Hamilton原理的论述很多，而应用 Lagrange方程的论述较少。这是因为在经典分析动力学中，Lagrange方程式是以离散的质点和质点系为对象建立的，如何应用于连续介质力学，仍然是国内外学者不断探索的重要课题［3-7］。

通过多年的研究，积累了不少成功的和失败的经验，经验告诉我们，在一定的意义上说，Lagrange方程和Hamilton原理都涉及变分学，Lagrange本人又是变分学的奠基人之一，从变分学的基本理论研究做起，或许是一条可行的途径。本文作者提出变分的逆运算变积概念，建立了变积方法，得到钱伟长院士的亲自推荐［8］。应用变积方法，与胡海昌院士一起，建立了一般力学三类变量的广义变分原理［9］。刘高联院士也充分肯定了变积方法［10］。这些研究使得微积分学中的积分、微分和导数在变分学中都有了对应的概念——变积、变分和变导，从而初步地将变分学扩充为变积分学。本文应用变导的概念和运算法则，通过研究Lagrange方程中的求导的性质，逐步地将Lagrange方程应用于弹性动力学，进而应用于刚弹耦合动力学。应用Lagrange方程，建立了刚弹耦合动力学的控制方程。

1 Lagrange方程中的导数的性质

为了说明这个问题，首先，明确变导的概念。

设有定积分形式的泛函:

自变函数为y(x)，自变量为x。对式(1)进行变分运算可得

由于δy任意性，式(2)可以变换为

在微分学中，函数的微分表示为dy，自变量的微分表示为dx，微商表示为又称导数。在变分学中，泛函的变分表示为δV，可变函数的变分表示为δy，变商表示为又称变导。

接下来，分析Lagrange方程中的导数的性质。经典分析动力学中的Lagrange方程表示为

其中，q=q(t)为广义坐标，一般分析动力学中均把其处理为广义坐标列阵［q1(t)q2(t)q3(t)…qi(t)…qn(t)］T，i=1，2，3，…，i，…，n。在变分学中，基本上存在三级变量—自变量、可变函数和泛函。简单函数和泛函的区别在于:简单函数是自变量的函数，而泛函是可变函数的函数，独立自主地变化的可变函数称为自变函数。明确了变分学中的三级变量，对区分微积分中的导数和变积分学中的变导很有帮助。对自变量求导为微积分中的导数，而对可变函数的求导则为变积分中的变导。

这里指出，Lagrange J.L.已经注意到微分符号用“d”和变分符号用“δ”，而且应用了符号中的对时间t求导在文献［1］中，Lagrange方程表示为

进一步，将变量ξ变换为q则有式(4)。

变积分学中的变导和微积分学中的导数的运算法则，有时相同、有时不同，这类问题，在后面研究具体问题时可以明显的表达出来。

2 Lagrange方程应用于弹性动力学

弹性动力学的动能可以表示为

弹性动力学的势能可以表示为

位移边界条件为

其中，u为位移，为边界位移，a为刚度系数，t为时间，ρ为物质密度，∇为Hamilton算子，f为单位体积力，T为单位面积力，V为体积，Sσ为应力边界面，Su为位移边界面。

Lagrange方程表示为

可见，这里对动能求变导的运算法则与微积分中求导数的法则相同。势能的变导项的推导较为复杂，与微积分中求导数的法则不尽相同:

由于

应用Green定理

将式(16)和式(9)代入式(15)，然后将式(15)代入式(14)，则得

将相关各式代入Lagrange方程，可得

写成微分形式，可得弹性动力学控制方程的一种表达形式

此外,学生作为案例教学的最大受益方,其教学效果与所选择的案例类型间存在着密切联系,而实际教学过程中学生能力锻炼程度及综合素质提升程度,无法脱离详细的分析、调查、测试及评价等环节的支持。按评价方法类型,案例教学效果评价方法可分为考试测试、调查问卷、一对一访谈及教学过程客观评价。

位移边界条件为式(9)。

3 Lagrange方程应用于刚弹耦合动力学

以飞行器为例，同样是一个飞行器，当研究它的轨道动力学时可以简化为质点模型，当研究它的姿态动力学时可以简化为刚体模型，当研究它的机械振动和动力响应时可以简化为弹性体模型，当对它的轨道、姿态、机械振动和动力响应以及它们之间的耦合效应进行全面研究时，则简化为刚弹耦合模型。

3.1 刚弹耦合动力学中的动能

因为这类问题的变量多、公式复杂，以下采用实体张量符号书写。对于所研究的物体，如图1所示。

图1 e坐标系和b坐标系Fig.1 e coordinate system and b coordinate system

假设图中的e坐标系为惯性坐标系，b坐标系为连体坐标系(一般为非惯性坐标系)。物体上任意一点的总矢径为R=Xc+x+u，其中，Xc为质心矢径，x是把物体视为刚体时由质心到刚体中任意一点的矢径，u为把物体视为弹性体时该点的弹性位移，设Xc+x=X。

将物体视为刚体时的转角为θ，可以认为是伪坐标。可见，对于刚弹耦合体，除了刚体速度外，还有变形体速度(其中，×表示矢量的叉乘符号)，这里应当注意到变形体速度与刚体转动的交联。应用Coriolis转动定理，注意到的力学模型中，矢量x的模为刚体质心到任意点的距离，而刚体中任意两点间的距离都是常量，因此，故有，总之

由于

因此，刚弹耦合动力学中的动能可以表示为

或者

因为［11］

所以，刚弹耦合动力学中的动能又可以写为

式中:Hc为对质心的动量矩，J为对质心的转动惯量;m为质量。

3.2 刚弹耦合动力学中的势能

参照弹性力学中的做法，刚弹耦合动力学中的势能一部分为

位移边界条件为

刚弹耦合动力学中的势能另一部分为由于作用于刚体的外力主矢和外力主矩引起的势能

两部分势能的和为

3.3 应用Lagrange方程建立刚弹耦合动力学的控制方程

Lagrange方程为

推导计算Lagrange方程中的有关动能的各项:

推导计算Lagrange方程中的有关势能的各项:

应用Green定理

将式(41)代入式(40)，考虑到边界条件(28)，可得

将以上的推导结果代入Lagrange方程中，可得

这就是刚弹耦合动力学的控制方程。

4 结束语

本文应用变导的概念和运算法则，研究了 Lagrange方程中的求导的性质，并成功地将Lagrange方程应用于弹性动力学。根据功能原理和能量守恒定律，应用Lagrange方程，建立了刚弹耦合动力学的控制方程。应用Lagrange方程解决了多个弹性动力学和刚弹耦合动力学的理论与应用问题。

［1］LAGRANGE J L.Analytical mechanics［M］.Dordrecht:Kluwer Academic Publishers Group，1997:169-183.

［2］HAMILTON W R.On a general method in dynamics［J］.Philosophical Transactions of the Royal Society，1834(Part I):247-308，1835(Part II):95-144.

［3］汪家訸.分析动力学［M］.北京:高等教育出版社，1958:426-487.

［4］沈惠川.弹性力学的Lagrange形式:用Routh方法建立弹性有限变形问题的基本方程［J］.数学物理学报，1998，18(1):78-88.SHEN Huichuan.Lagrange formalism of elasticity:building the basic equationson finite-deformation problemsby Routh's method［J］.Acta Mathematica Scientia，1998，18(1):78-88.

［5］缪炳祺，曲广吉，夏邃勤，等.柔性航天器动力学建模的伪坐标形式Lagrange方程［J］.中国空间科学技术，2003(2):1-5，57.MIAO Bingqi，QU Guangji，XIA Suiqin，et al.Lagrange's equations in quasicoordinates for dynamics modeling of flexible spacecraft［J］.Chinese Space Science and Technology，2003(2):1-5，57.

［6］SOUCHET R .Continuum mechanics and Lagrange equations with generalised coordinates［J］.International Journal of Engineering Science，2014，76:27-33.

［7］HERBERT G.，CHARLES P，JOHN S.Classical Mechanics［M］.3rd ed.Beijing:Higher Education Press，2005:449-600.

［8］LIANG Lifu，SHI Zhifei.On the inverse problem in calculus of variations［J］.Applied Mathematics and Mechanics，1994，15(9):815-830.

［9］LIANG Lifu，HU Haichang.Generalized variational principle of three kinds of variables in general mechanics［J］.Science in China(A)，2001，44(6):770-776.

［10］梁立孚.变分原理及其应用［M］.哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社，2005:序言1-2.

［11］LIANG Lifu，SONG Haiyan.Non-linear and non-conservative quasi-variational principle of flexible body dynamics and application in spacecraft dynamics［J］.Science China Physics，Mechanics and Astronomy，2013，56(11):2192-2199.