支持分布式大数据应用建模的模型理论

张文燚，项连志，王小芳

(1.哈尔滨工程大学电子政务建模仿真国家工程实验室，北京100037;2.哈尔滨工程大学计算机科学与技术学院，黑龙江哈尔滨150001)

海量的大数据［1］资源的组织结构，不可避免地呈现出大规模网络化分布的基本特征，从而导致了大数据分析应用的物理模型自然呈现出大规模网络化分布的特征。大规模分布式网络应用主要是以多组件分工协作的形式存在的，因此，研究支持网络分布式多组件协作应用建模的模型理论，完善面向大规模分布式网络应用的模型架构，对于推动大数据分析应用的快速发展具有重要意义。1991年，ROGER S.CHIN发表了以构建基于分布对象的编程系统(DOBPS)［2］为目的，支持网络分布式多组件协作应用建模的物理参考模型。由于DOBPS没有把支持分布式对象交互的协议实体纳入资源管理，这使得分布式组件协作只能被表达为一种动态机制而不是静态模型;同时，DOBPS和许多面向对象的分析设计方法(OOA、OOD)一样，在对象交互方面的研究较少，既没能较好地借助对象交互表达业务规则，又没能较好地刻画复杂对象交互过程的动态全景［3］，也没能给出可操作的对象交互形式框架［4］。PVM［5］、OGSA［6］、Cougaar［7］等均未能给出普遍适用的分布式应用模型架构。Peter Wegner于1993年指出，面向对象的软件工程范式与图灵算法的逻辑编程范式是不相容的［8］，1997年进一步指出，无法借助一阶逻辑形式化交互系统［4］。1998年，Peter Wegner正式给出了支持对象交互建模的经验主义计算模型［9］，但是，该模型仍试图兼容一阶逻辑的形式化模型，导致该模型定义的语用只可解释、不能操作，从而严重影响了该模型的实用价值。2003年，文献［10］给出了一种支持刻画业务规则和动态全景的目标操作化对象交互模型，但是该模型的一般性是借助自然同态映射表达的，没有给出严格的形式证明，很大程度上限制了模型的推广应用。由此可见，在大数据应用需求驱动着大规模分布网络应用快速发展的新时代，建立一种面向分布式大数据应用、支持多组件协作应用建模的、一般实用的模型理论，具有重要的现实意义。

本文首先定义分布式大数据组织上的应用问题，并给出问题求解过程的算子复合表达式，进而基于交互式计算范畴的定义，建立研究交互式计算的模型理论，最后借助一个标准差计算应用样例，展示该模型理论在分布式大数据应用建模中的实际应用。

1 分布式大数据应用问题

在文献［11］中，大数据是以原始痕迹记录的形式存在的，痕迹记录形式是借助痕迹代数S=＜sT，opp，opr，opl，opb＞表达的，其中:

sT={st1，st2，…|t1，t2，…∈T}为场景，其中sti为每个时刻的活动痕迹，sti=sTi-sTi-1且Ti=Ti-1∪{ti}。文献［12］中记为sT的子场景。

st=(t，Me(O))为活动痕迹，其中t是实体实例消息的产生时刻，Me(O)={(o)|i=1，2，..，o∈O，·m·id∈IDj，IDj⊂ID}是t时刻所有宿主产生的实体实例消息集合，O代表宿主集合，IDj代表消息编号集合，ID为消息编号全集。

me(o)=({(ai，xi)}，m(o))为实体实例的消息，其中{(ai，xi)}=xi1⊕xi2⊕…代表实体实例标识，其中I=＜i1，i2，…＞为名称项脚标序列，m(o)为消息。

可见，文献［11-12］只把表示大数据的某个时刻的痕迹视为该时刻场景内所有实体实例消息的集合，但是不考虑痕迹的内在结构。为了展开对分布式大数据应用建模的讨论，本文把分布式大数据组织视为多个子场景的复合结构，子场景为多个实体的复合结构，实体为多个实体实例消息的复合结构，从而定义分布式大数据组织如下:

定义1 分布式大数据组织:称场景sT的结构化表达sT=(ns，ξ({(，)，j=1，2，…}))为分布式大数据组织。其中，ns为场景名，ξ为场景复合函数，为子场景名，=w({(，ep)，p=1，2，..}为子场景，w为子场景复合函数，为实体名，p为子场景中包含的实体ep的编号，ep=v({(，)})为实体，v为实体复合函数，为实体实例消息标识，k为实体ep中包含的实体实例消息的编号，=u({(αi，xi(t))，i=1，2，..})为实体实例消息，u为实体实例消息复合函数，αi为属性名，xi(t)为t时刻属性值，i为实体实例消息中包含的属性值编号。称{()}为子场景组织集合，记为d。

分布式大数据组织的结构展开形式为:sT=(ns，(t))}))}))}))}))。不失一般性，本文将分布式大数据组织表达为(Z0)))}))，其中:

1)Z0={(t)，i=1，2，…，n0}为属性值的集合，其中(t)=(αi，xi(t))，n0为属性值个数。

2)zs=(nK+1，δ)=(nK+1，fK+1(ZK))为第K+1 层上的属性复合结构，其中nK+1为属性复合结构名，δ为结构项，fK+1为结构复合函数，ZK={(，)，p=1，2，…，nk}为第K层属性复合结构集合。

分布式大数据应用问题(problem of distrubted application on big data，PDABD):已知分布式大数据组织zs上的约束条件，求符合约束条件CON的问题域DOM=D(zs，CON)=并在该问题域上寻找满足Z*=Ψ(DOM)的问题解。其中:CONl=表示属性复合结构的条件，为属性复合结构的一个结构实例，并且:

1)为第0层的第p个域为包含的第1层属性复合结构集合在条件约束下形成的第u个域;为包含的第2层属性复合结构集合在条件约束下形成的第q个域;为包含的第K层的属性复合结构集合在条件约束下形成的第w个域。

2)称D为定域算子，且D(zs，CON)=DOM。

3)称 Ψ=h({μk，k=1，2，…，M}，{ψk，k=1，2，…，N})为计算算子，其中μk为线性算子，ψk为非线性算子，h为算子组合运算。

引理1 对于PDABD，必存在分域算子D'，使得D'(DOM)={DOM1，DOM2，…DOMM}，M≤L成立，其中DOMj=D(zs，CONl)≠∅为计算子域。

证明 由分布式大数据组织zs上的约束条件，且，其中L为子条件数，K为层数。问题域DOM按如下过程展开形成:对任意子条件集CONl，，i=0，1，…K为CONl的第i层上的约束条件，由以及第i-1层属性复合结构和第i层属性复合结构间的包含关系，可产生第i层上的层内子域Domi(l)，通过层内子域Domi(l)内属性复合结构的交叉包含关系，形成子域DOMl。对所有的子条件CONl，l=1，2，…L，均有DOMl，这里DOMl允许为空，而问题域DOMl。将DOMl=∅的进行排除，得到DOMj，其中M≤L。因此，必存在分域算子D'，使得D'(DOM)={DOM1，DOM2，…，DOMM}={DOMj，j=1，2，…M}成立。

引理2 在PDABD中，对于Ψ中的线性算子组合h{μk，k=1，2，…}，记为hμ，必存在算子f和 Υ，使得hμ(DOM，Z)= Υ({f(DOMj，Z)})成立，其中，Z为属性复合结构的实例集合，DOMj∈D'(DOM)。这里，称算子f为子域计算算子，算子 Υ为聚解算子。

证明 由引理1可知，问题域DOM是以子域集合{DOMj，j=1，2，…，M}的形式存在的，则必存在算子f作用于子域，即f(DOMj，Z)存在。同时，假设不存在聚解算子 Υ，使得hμ(DOM，Z)= Υ({f(DOMj，Z)})成立，即f(DOMj，Z)，j=1，2，…无法形成hμ(DOM，Z)，即无法找到 Ψ，使得Z*=Ψ(DOM)成立，故必存在聚解算子Υ，使得hμ(DOM，Z)=Υ({f(DOMj，Z)})成立。

引理3 在PDABD中，对于Ψ中的非线性算子组合h{ψk，k=1，2，…}，记为hψ，必存在算子g，使得hψ(DOM，Z)=g(F，Z)成立，其中，F={Υp{fp(DOMj)}，p=1，2，…}，Z为属性复合结构的实例集合，DOMj∈D'(DOM)。这里，称算子g为复合子域计算算子。

证明 由引理1可知，问题域DOM是以子域集合 {DOMj，j=1，2，…，M}的形式存在的。假设不存在g，使得hψ(DOM，Z)=g(F，Z)成立，则hψ无法在子域集合 {DOMj，j=1，2，…，M}上展开计算，即无法找到Ψ，使得Z*=Ψ(DOM)成立，故必存在复合子域计算算子g，使得hψ(DOM，Z)=g(F，Z)成立。

引理4 PDABD求解的一般表达形式为Ψ=gy，其中和Zy为由复合子域计算算子产生的属性复合结构集合，可表达为如此，可展开求解的一般表达形式为

证明略。

2 交互式计算模型构造

2.1 数学基础准备

通过引入范畴对象的属性复合结构和平凡态射，扩展范畴为有向平凡范畴，完成建立交互式计算模型的数学基础准备。

定义2 属性复合结构匹配≅:设和为属性复合结构，称匹配，即≅，如果满足以下条件:

1)当k=0时，即和为属性单元=(αi，xi(t))和=(αj，xj(t))，有 αi=αj。

2)当k≥1时，即(t)=(，fk())和(t)=(，fk())，有||=||，且对于任意∈，均存在，使得，即属性复合结构集合匹配，记为

在不混淆含义的情况下，≅可表达为=。

定义3 有向平凡范畴G:一个有向平凡范畴G是由以下组成:

1)一族对象obG:A，B，C，…;

2)一族态射MorG:f，g，h，…;

3)对于每一个对象A，都存在一个由A生成的属性复合结构集合ZA;

4)对于每一个态射f，有给定的对象A，B和属性复合结构集合ZA，ZB，使得f:(A，ZA)→(B，ZB)成立，其中(A，ZA)=dom(f)，(B，ZB)=cod(f);

5)任意两个对象A和B，都有一个平凡态射0AB:(A，ZA)→(B，ZB);

6)对于给定的态射f:(A，ZA)→(B，ZB)和g:(B，ZB')→(C，ZC)，称g°f为f和g的复合，如果

①当f≠0AB，g≠0BC时，若cod(f)=dom(g)，则存在态射:g°f:(A，ZA)→(C，ZC)，否则g°f=0AC。

②当f=0AB或g=0BC时，有g°f=0AC。

7)对于每一个对象A，存在一个态射1A:(A，ZA)→(A，ZA)，称为A的单元态射，且满足以下条件:

对于任意f:(A，ZA)→(B，ZB)，有f°1A=f=1B°f成立。

2.2 交互式计算范畴

交互式计算范畴G由多结构化状态关系代数、协议代数P、交互计算总线格代数Π3个对象以及对象之间的态射构成。

2.2.1 多结构化状态关系代数

在文献［11］中，给出了一个由平凡表模型(ordinary table model)构成，支持大数据的结构化、半结构化和非结构化等信息资源形式化表达的多结构化状态关系代数其中为多结构化状态关系的集合，为上的一元着色约束运算。

定义Ⅰ 多结构化状态关系:称形如=的集合为多结构化状态关系，其中为多结构化状态关系元组标识，为多结构化状态关系元组的诞生时刻，为多结构化状态关系元组的记录时刻，={(αi，xki)，i=1，2，…}是多结构化状态关系元组，αi为名称项，xki为由符号序列组成的值项。记attr()={αi}为属性集合。

定理Ⅰ 多结构化状态关系代数:设Ωt为多结构化状态关系的集合，则为多结构化状态关系代数。。

2.2.2 协议代数

定义 4 协议 ρ:称形如 ρ=(b，idρ，dI，dO，γ，con，idρi)的六元组为协议，其中b为协议节拍，idρ为协议编号，dI为资源子场景组织集合，dO为目标子场景组织集合，γ为目标函数，con为约束条件，idρi为流向。若dI=dO=∅，则称 ρ为空协议，记为 ρ0。

定义5 判识ι:设P为协议ρ的集合，ι为P上的一元运算，为判识条件，判识运算定义如下:对于任意 ρ∈P，有

定义6 连接ω:设P为协议ρ的集合，称二元运算ω为P上的连接运算，如果满足:对于任意ρ1=

1)当 ρ1≠ρ0，ρ2≠ρ0时，如果满足con1()=，则 ω(ρ1，ρ2)=成立;

否则，ω(ρ1，ρ2)= ρ0;

2)当 ρ1=ρ0，ρ2≠ρ0时，ω(ρ1，ρ2)= ρ2;

3)当 ρ1≠ρ0，ρ2=ρ0时，ω(ρ1，ρ2)= ρ1;

4)当 ρ1=ρ0，ρ2=ρ0时，ω(ρ1，ρ2)= ρ0。

定义7 激活η:设P为协议ρ的集合，η为P上的一元运算，激活运算定义如下:

对于任意 ρ∈P，有 η(ρ)=(bη，idρ，dIη，dOη，γ，con，idρi)成立，其中bη=η(b)为激活后产生的下一个协议节拍，dIη=η(dI)为激活后产生的下一拍协议的资源子场景组织集合，dOη=η(dO)为激活后产生的下一拍协议的目标子场景组织集合。

定理1 协议代数P:设P为协议ρ的集合，则＜P，ι，ω，η＞是一个代数，称之为协议代数，记为P。

证明 显然ι、ω、η为P上的运算，则P是协议代数。

2.2.3 交互计算总线格代数

此处用符号()表示序列，即(Xk)=X1X2…XK，其中Xk为ak，f1j和f2i。

显然，泊位β是属性复合结构。

定义 9 计算节点 π:称形如 π=(b，cn，Iβ，Oβ，φ)的五元组为计算节点，其中b为计算节拍，cn为计算单元号(具有唯一性)，Iβ为输入泊位集，Oβ为输出泊位集，φ为计算。若Iβ=Oβ=∅，则称π为空节点，记为π0。

定理2 计算格:设Π为计算节点π的集合，≤为集合Π上的一个二元关系，≤定义为:{(π1，π2)|π1，π2∈Π，π1·cn≤π2·cn}，则(Π，≤)为一个格。

证明略。

定义10 匹配λp:设Π为计算节点π的集合，λp为Π上的一元运算，为匹配条件，匹配运算定义如下:对于任意π∈Π，有

定义11 连接λr:设Π为计算节点π的集合，λr为Π上的二元运算，连接运算定义如下:对于任意 π1=(b1，cn1，，，φ1)，π2=(b2，cn2，，，φ2)∈Π，

1)当 π1≠π0，π2≠π0时，若 π1≤π2，⊆，则φ2°φ1)，其中cn1＜fcn(cn1，cn2)＜cn2，否则，λr(π1，π2)=π0;

2)若 π1=π0，π2≠π0，则 λr(π1，π2)= π2;

3)若 π1≠π0，π2=π0，则 λr(π1，π2)= π1;

4)若 π1=π0，π2=π0，则 λr(π1，π2)= π0。

定义12 落实λl:设Π为计算节点π的集合，λl为Π上的一元运算，落实运算定义如下:对于任意 π∈Π，有 λl(π)=(bl，cn，Iβl，Oβl，φ)成立，其中bl为下一个计算节拍，Iβl为下一个计算节拍的输入泊位集，Oβl为下一个计算节拍的输出泊位集。

定理3 交互计算总线格代数Π:设Π为计算节点 π 的集合，则＜Π，∧，∨，λp，λr，λl＞是一个格代数，我们称之为交互计算总线格代数，记为Π。

证明 显然 λp、λr、λl是 Π 上的运算，又(Π，≤)为格，则 Π=＜Π，∧，∨，λp，λr，λl＞为交互计算总线格代数。

2.2.4 交互式计算范畴构成

定理4 交互式计算范畴G:G由以下内容组成:

1)obG:P，Π，，及其属性复合结构集合ZP，ZΠ，。

2)MorG:G((P，ZP)，(Π，ZΠ))={φPΠ，0PΠ}G，定义见图 1;G((Π，ZΠ)，(P，，定义见图2;G((Π，ZΠ)，(Π，ZΠ))={1Π}，定义见图3。

那么G为有向平凡范畴，称之为交互式计算范畴。

证明略。

图1 交互式计算范畴态射图Fig.1 Interactive computing category’s morphism

定理5 运算保持性:设G为交互式计算范畴，对于对象P和 Π，态射 φPΠ:P→Π，对于任意给定的，有:

1)φPΠ(ι(ρ1))= λp(φPΠ(ρ1));

2)φPΠ(ω(ρ1，ρ2))= λr(φPΠ(ρ1)，φPΠ(ρ2));

3)φPΠ(η(ρ1))= λl(φPΠ(ρ1))。

证明略。

定理6 运算保持性:设G为交互式计算范畴，对于对象Π 和P，态射 φΠP:Π→P，对于任意给定的∈Π有:

1)φΠP(λp(π1))= ι(φΠP(π1));

2)φΠP(λr(π1，π2))= ω(φΠP(π1)，φΠP(π2));

3)φΠP(λ?(π1))= η(φΠP(π1))。

证明略。

2.3 交互式计算模型

在交互式计算范畴G中，令态射集合 {φPΠ}和组成协议-内存勾连构件和组成内存-外存勾连构件，{1Π}组成内存-计算勾连构件，从而形成建立在协议-内存勾连构件、内存-外存勾连构件、内存-计算勾连构件之间，以交互计算总线格Π为交互载体展开交互计算的交互式计算模型(model of interactive computing，MIC)。本文称应用交互式计算模型MIC求解分布式大数据应用问题相关的研究，为支持分布式大数据应用建模的模型理论研究。

3 分布式大数据应用建模实例

本节以面向分布式大数据组织的标准差计算应用为实例，展示交互式计算模型MIC在分布式大数据应用建模中的应用。

3.1 标准差计算问题与求解过程

对于大数据组织结构sT，X0={(αi，xi(t))，i=1，2，…}为第0层属性单元层1，2，…}为第1层实体实例消息层p=1，2，…}为第 2 层实体层2，…}为第3层子场景层。当不需强调层次时，X0，Me1，E2和 ϑ3可简写为X，Me，E和 ϑ。

分布式大数据标准差计算应用问题(PDADBsdev):已知大数据组织sT上的约束条件，求符合约束条件CONsdev的问题域并在该问题域上寻找满足(αsdev，xsdev)= Ψsdev(DOM)的问题解。其中:CONl=，其中为属性值为实体实例消息结构实例为实体结构实例为子场景结构实例，并且:

1)为第0层的第p个域为包含的第1层实体实例消息集合在条件约束下形成的第u个域;为包含的第2层实体集合在条件约束下形成的第q个域为包含的第3层的子场景集合在条件Γ3=约束下形成的第w个域。

2)称D为定域算子，且D(sT，CONsdev)=DOM。

3)称 Ψsdev=h({μfet，μsum，μcnt，μdisp}，{ψavg，ψsdev})为计算算子，其中，属性提取算子μfet，汇总算子μsum，计数算子μcnt和离散度计算算子μdisp为线性算子，均值算子ψavg和标准差算子ψsdev为非线性算子。

下面展开线性算子和非线性算子的定义，并由此给出子域计算算子和复合子域计算算子。

定义13 属性提取算子 μfet:设子域Domj=，属 性α，则属性提取算子 μfet定义如下:μfet(Domj，α)={(αi，xi)，i=1，2，…}，其中这里符号A·X表示A中的X。

定义14 汇总算子μsum:对于给定的属性值集合X={(αi，xi(t))，i=1，2，…，n}，汇总算子 μsum定义如下:，其中 αsum为汇总属性。

定义15 计数算子μcnt:对于给定的属性值集合X={(αi，xi(t))，i=1，2，…，n}，称算子 μcnt为计数算子，如果 μcnt(X)=(αcnt，|X|)成立，其中 αcnt为计数属性。

定义16 离散度计算算子μdisp:对于给定的属性值集合X={(αi，xi(t))，i=1，2，…，n}和样本均值(αc，xc)，离散度计算算子 μdisp定义如下:，其中 αdisp为离散度属性。

由以上线性计算算子，可形成子域属性汇总算子fsum=μsum°μfet，子域属性计数算子fcnt=μcnt°μfet，子域离散度计算算子fsum=μsum°μfet，且fsum，fcnt和fsum对应的聚解算子都为汇总算子Υsum=μsum。此外，还有一类特殊的子域计算算子是自赋算子，即fasg(Z)=Z，其中Z为任意属性复合结构集合;当|Z|=1时，即Z={z}，可简写为fasg(z)=z。

定义17 均值算子ψavg:对于给定的属性值集合X={(αi，xi(t))，i=1，2，…，n}，其汇总值为(αsum，xsum)，总数为(αcnt，xcnt)，则均值算子定义如下:ψavg((αsum，xsum)，(αcnt，xcnt))=(αavg，xsum/xcnt)，其中αavg为均值属性。

定义18 标准差算子ψsdev:对于给定的属性值集合X={(αi，xi(t))，i=1，2，…，n}，其总数为(αcnt，xcnt)，离散度为(αsum，xsum)，则标准差算子定义如下:ψsdev((αcnt，xcnt)，(αsum，xsum))=(αsdev，，其中αsdev为标准差属性。

由此可形成复合子域均值算子gavg=ψavg(Υsum，和复合子域标准差算子

那么PDADBsdev求解形式的一般表达为Ψsdev=gsdev(Υsum{fcnt(Domj)})，Υsum({fsum(Domj，gavg(Υsum{fsum(Domj)}，Υsum{fcnt(Domj)}))}))，其中Domj∈D'(D(sT，CONsdev))为问题域D'(D(sT，CONsdev))分域后的第j个计算子域。

注意到D'(D(sT，CONsdev))等价于定域算子D以相同约束条件CONsdev作用于子场景上的集合，即D'(D(sT，CONsdev))={D(，CONsdev)}。

3.2 求解标准差计算问题的交互式计算模型

本节将基于交互式计算模型构建求解标准差计算问题的交互式计算模型，刻画标准差计算应用问题的求解过程，即按算子或复合算子，及其交互构建态射，将同类态射凝聚为构件，并给出以态射和构件表达的标准差计算应用问题求解的交互计算过程图。

对于大数据组织sT，分布式大数据应用问题的求解过程是在子场景，j=1，2，…，m上展开。同时，在PDADBsdev的求解一般表达形式中引入赋值算子，用于映射赋值态射(即刻画在P，Π和Ω间传递信息的态射)，则PDADBsdev的求解形式的一般表达可 转 换 为:(Domj))})))))))})))，其中，子域计算算子和中的j表示算子作用于子场景上 。由此可按算子或复合算子构建以下态射。

1)对于赋值算子fasg，显然可映射为赋值态射

那么，由态射表达的分布式大数据标准差计算应用问题求解过程为，其中，交互态射在表达形式中已被省略中的j表示发生在第j个子场景上的态射实例，Υsum为聚解算子，不属于交互式计算模型的刻画范围。由态射表达的标准差计算问题求解的交互计算过程如图4所示(图中序号为计算序号)，其中1Π:((i)，(k))表示序号为(i)和(k)态射间的交互。

图2 标准差计算问题求解的交互计算过程Fig.2 Interactive computing process of standard deviation computational problem solving

5 结论

1)借助分布式大数据组织的定义，本文形式化地定义了分布式大数据应用问题PDABD，并且给出了由定域算子、分域算子、子域计算算子、聚解算子和复合子域计算算子构成的PDABD求解形式的一般表达。

3)以面向分布式大数据组织的标准差计算应用为实例，展示了MIC在分布式大数据应用建模中的实用性及其应用价值。

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