为何要错，错在哪里

雷国熙

常言道：“人非圣贤，孰能无过。”有错是难免的，不过还是可以避免的。对于初中生来说，他们正处在生长发育的黄金阶段，思想波动性大，思维不健全，模仿能力强，自主性较差，精力不集中，对所学知识不精心推敲，一知半解。因此，导致在做题时总要出现错误。而错误的原因是、错在哪里却不清楚。

笔者撰此拙文，以敦促有如此情形的学生在平时的学习过程中要精益求精，不耻下问，多看书，多做多练，多动脑思考。首先，认真研究数学概念的严密性，在做题时认真读题，细心揣摸题意，分清诸条件的真正用意以及与结论之间的直接或间接关系。其次，认清题中的结论及要求，达此目的需要什么条件，怎样达到，需与条件挂钩。如果没有直接或间接条件者，需挖掘隐含条件。这就是所谓的做题思路。

下面特举几例，以便读者斟酌之。

一、隐含条件有待挖掘

隐含条件，题目中未明确表达，但客观存在，需充分挖掘，才能利用。

例1：关于X的一元二次方程kx2-（2k+1）x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是______

误解：∵方程有两个实根，

∴

∴

简析：“误解”中忽视了一个隐含条件，是二次项系数非零，。

正解：由题意得且≥0，  ∴k≥﹣且k≠0。

例2：已知a、b为方程x2+5x+2=0的两根，求+的值。

误解：∵a+b=﹣5，ab=2。

∴。

简析：∵ab=2>0

∴a、b同号

又∵a+b=﹣5<0

∴a<0，b<0，即为隐含条件，“误解”中没有挖掘，而导致结果错误。

正解：∵a+b=﹣5<0，ab=2>0

∴a<0，b<0

∴

二、谨防“陷阱”，摆脱上钩

这类题要求学生平时养成仔细审题、周密思考的习惯，不被题设“陷进”所迷惑。

例3：下面是某学生在一次考试中解答的填空题：

（1）若x2=a2，则x=a。

（2）方程2x（x-1）=x-1的解为x=0。

（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5。

简析：“陷阱”只对于粗心者而言，谨慎者本来就不存在“陷阱”，所以“陷阱”是相对的。（1）求的是平方根，而该学生把平方根和算术平方根混淆。正确答案应为x=±a。（2）方程兩边不能简单地除以（x-1），因为（x-1）还有是零的可能，应采取分解因式法求解，方程的解应为x=0或x=1。（3）条件中“两边长分别为3和4”，是直角边还是斜边，并不明确。因此，应有两种可能存在;第一种可能是“两直角边分别是3和4”，第三边长应为5;第二种可能是“3和4是一条直角边和斜边”，则第三边应为，所以正确答案应为5和。

例4：已知abc≠0，并且，则k=____

误解：∵ abc≠0

∴a、b、c均不为零。

由等比性质：

简析：此题运用等比性质，必须有a+b+c≠0，而题中只有abc≠0，因此分a+b+c≠0和a+b+c=0要分别讨论。

正解：（1）当a+b+c≠0时，如“误解”k=。

（2）当a+b+c=0时，a=-（b+c），则k= =-1。

∴k=或k=-1。

三、考虑不周，错误求解

不少学生审题不细，考虑问题不周全或因长期养成的思维定势等原因，导致解题出错。

例5。已知二次函数y=ax2+4x+a-1的最大值为2，求a的值。

误解：∵函数y=ax2+4x+a-1的最大值为2

∴ =2，解得a=4或a=-1

简析：本题忽视了函数有最大值的条件a<0。

正解：∵二次函数y=ax2+4x+a-1有最大值

∴a<0

又∵函数y=ax2+4x+a-1的最大值为2

∴a=4或a=-1

∴a=-1

例6。已知抛物线y=x2-（k-1）x-3k-2与x轴交于A（m，0），B（n，0）两点，且m2+n2=17，求k的值。

误解：∵m+n=k-1，mn=-3k-2

∴m2+n2=（m+n）2-2mn=（k-1）2+2（3k+2）=17

即k2+4k-12=0

∴k=-6，k=2

简析：“错解”中忽视了方程

x2-（k-1）x-3k-2=0有两不等根的条件△>0

正解：∵抛物线y=x2-（k-1）x-3k-2与x轴交于A，B两点

∴△=（k-1）2+4（3k+2）=k2+10k+9>0，解得k<-9或k>-1

又由题意得m+n=k-1，mn=-3k-2

∴m2+n2=（m+n）2-2mn=（k-1）2+2（3k+2）=17

解得k=-6或k=2

∴k=2