基于高度冗余Gabor框架的欠Nyquist采样系统子空间探测

陈 鹏孟 晨 王 成

（军械工程学院导弹工程系 石家庄 050003）

基于高度冗余Gabor框架的欠Nyquist采样系统子空间探测

陈 鹏*孟 晨 王 成

（军械工程学院导弹工程系 石家庄 050003）

基于指数再生窗Gabor框架的欠Nyquist采样系统对窄脉冲信号完成采样与重构一般情况下效果较好，但是当框架高度冗余时，使用传统面向系数域的方法对信号进行子空间探测会面临失败或较大误差。该文采用面向信号域的思想，构建了分块的对偶Gabor字典，并对信号分块稀疏表示；根据信号的分块表示推导了采样系统的测量矩阵，提出了测量矩阵受字典相干性约束的分块ε-相干性；将信号合成模型引入多观测向量问题，提出基于分块ε-闭包的同步正交匹配追踪算法（S OMPBε，F），用于信号子空间探测。此外还证明了算法的收敛约束条件。仿真结果表明，所提子空间探测方法相比传统方法提高了信号重构成功率，降低了采样通道数，并增强了系统鲁棒性。

信号处理；Gabor字典；相干性；欠采样；子空间

1 引言

基于压缩感知（Compressed Sensing， CS）理论的欠Nyquist采样技术作为近年来国内外研究的热点，在核磁共振［1，2］、频谱感知［3］、雷达［4，5］及通信［6］领域需求广泛。目前，窄脉冲信号欠Nyquist采样方法主要有两类。第1类是有限新息率（Finite Rate of Innovation， FRI）信号采样［7，8］，应用于脉冲波形已知、脉冲个数、幅度和延迟未知的脉冲串信号。第2类是基于Gabor框架的采样方法［9］，应用于波形未知、脉宽和脉冲个数上限已知脉冲串信号。后者不需要预先知道脉冲波形，在现实中应用更加广泛。其基本思想是，利用采样系统对信号进行Gabor变换和压缩采样，再通过子空间探测获取Gabor系数，根据信号在Gabor框架中的稀疏表示恢复出原始信号。文献［10］将指数再生窗引入采样系统，使系统中时域加窗和积分环节简化为指数滤波器，不仅易于物理实现，还利用框架的高度冗余特性大大增强了采样系统的鲁棒性。

在Hilbert空间中，用于信号稀疏表示的基或原子可以张成一个信号子空间，同种类型的信号属于这些子空间的联合（Union of Subspace， UoS）。一个具体信号的子空间探测，就是根据测量信息找到UoS中对应的子空间并求出信号的稀疏表示［11］。传统的基于合成模型方法都是面向系数域的方法，即从测量结果中直接重构出信号稀疏表示的系数，再利用信号空间中的稀疏基对信号完成合成，只适用于信号子空间正交或冗余度较低的情况。而近年来新出现的基于分析模型［12］方法利用面向信号域重构的思想，已经可以处理高冗余或高度线性相关的子空间探测的问题。

面向信号域重构时，需要根据信号字典空间的约束等距特性（Restricted Isometry Property， RIP）或相干性对重构获得的系数支撑集进行修正，从而探测出最准确的信号空间。根据分析模型中的思想，本文将引入一种新的相干性定义［13］用于基于多观测向量问题（Multiple Measurement Vector， MMV）的子空间探测，提出了分块ε-相干性，克服了面向系数域重构方法对子空间冗余度的要求。在解决MMV问题时，面向系数域重构常用到的算法有同步正交匹配追踪（Simultaneous Orthogonal Matching Pursuit，SOMP）、同步压缩采样匹配追踪（Simultaneous Compressive Sampling Matching Pursuit，SCoSaMP）、同步迭代硬阈值（Simultaneous Iterative Hard Thresholding， SIHT）等［14］，它们在字典高度冗余时可能因信号稀疏表示的不唯一导致重大重构误差，或因字典RIP较差使算法无法执行，而面向信号域的方法将克服这些问题。

在信号子空间探测的过程中，本文将解决信号稀疏表示和子空间探测两个问题。首先，构建了Gabor框架对应的字典和测量矩阵，并对基于合成模型的测量矩阵相干性进行分析。针对采样系统子空间探测需要解决的MMV问题，对字典进行分块，完成信号块稀疏表示。其次，将信号稀疏表示融合到基于合成模型的 CS联合稀疏重构算法中，对面向系数域重构方法中的典型算法SOMP进行改进，提出基于ε-闭包的合成模型的 SOMP算法（SOMPBε，F），完成子空间探测和信号重构。仿真结果表明，本文方法可以提高信号重构成功率，并进一步压缩采样系统的通道数，同时保证采样系统具有较好的鲁棒性。

2 基于指数再生窗Gabor框架的采样系统

2.1 信号模型

单个脉冲最大宽度为W，脉冲最大个数为 Np，脉冲波形及延迟未知且可重叠。根据测不准原理，此类信号不能保证带限，但为便于研究，将信号定义为 ∈Ω-带限信号。定义本质带宽表示F以外的频带，存在∈Ω＜1和，使得

2.2 基于指数再生窗的Gabor框架采样系统

定义1［15］对于任意 x（t），g（t） ∈ L（ℝ） ，定义调制

2算子 Mf和位移算子Tτ，满足Tτx（t） = x（t - τ）。存在常数0 ＜ A ≤ B ＜∞，使得函数集合 G（g，a，b） = ｛MblTakg（t）；k，l∈ℤ｝ 满足

则 G（g，a，b）为Gabor框架，A和B定义为框架界。框架中，时频采样单元为时间长度a和频率长度b构成的栅格，计为（a，b）。框架的冗余度 μ= ab，根据Balian-Law定理，μ ∈ （0，1）。存在对偶窗x（t）在 G （γ， a，b）框架中可表示为

图1 Gabor框架采样系统结构

将采样点 yj，m构建为J × M的矩阵Y。重构分为两步，第1步是子空间探测，即求解由 zk，l构成的系数矩阵Z。求解Z的过程即为解方程组其中，D为 wj（t）中频域调制分量的加权系数，其选取并不影响采样率。文献［16］指出，为了简化硬件实现，可以令 D =I，其中I为单位矩阵，子空间探测即为解决式（5）中的问题。

C中的元素 cm，k的表达式为

3 基于合成模型测量矩阵的相干性

3.1 分块Gabor字典

本小节将定义用于信号恢复的离散Gabor字典γ，此字典的每一列实际上是用于信号稀疏表示的对偶Gabor框架原子的离散化表示。首先，对Gabor框架进行离散化并构建Gabor矩阵G。在上文描述的 Gabor框架中，窗函数之间时域平移的时间为a = μWg，令［0，a］中恢复出来的采样点数为n，重构出来的离散信号的采样时间间隔为 Trs，可以构建矩阵 G［ k］，其第（q ，l）个元素为

此矩阵是一个分块的Toeplitz矩阵，矩阵的尺寸为Kn × KL。在信号重构过程中，根据实际采集到的信息，n的取值范围受到定理1的约束。

定理 1对于N阶指数再生窗构建的截短的Gabor框架，如果获得的Gabor系数矩阵的尺寸为K × L，在对用于合成信号的Gabor窗进行离散化时，将时间区间［0，a］分为n为个点表示，n的范围满足 n＞ （L - 1）/N 时，能够准确重构信号。

证明根据以上构建的采样系统，可得根据采样定理可知 frs＞ Ω+B。所以 n ＞μ（Ω + B）Wg= μ（L -1）。由 μ= 1/N ，得

证毕

对于Gabor矩阵G，其对偶矩阵为γ，根据本文中对（a，b）的选取，列向量其中S为 Gabor框架的框架算子矩阵。根据文献［16，17］，可知S =GHG 。利用此式直接进行计算框架算子非常复杂［18，19］，为了方便计算，本文根据最常用的Walnut表达式给出一个等价框架算子矩阵 SW。

因此采样系统中的对偶Gabor字典为

根据式（10），对偶字典矩阵γ相当于在G的每一列上乘以相同的系数，同时参照式（7）和式（8），字典γ的列可以分成K个子矩阵这样，信号x的稀疏表达式就表示为 x = γ vec（ZT）。在本文中提出的采样系统中，Z为用于信号稀疏表示的系数矩阵，其第k行对应的是时域第k个平移的栅格，这里将每一个时间窗对应的短时傅里叶变换向量 ZT［k］与 γ ［k］一一对应，方便在进行信号重构的过程中对冗余的γ字典的分块支撑集进行筛选。

3.2 测量矩阵

式（5）中的问题可以等价于求解式（11）的过程：

其中， vec（ZT）表示Z的行经过转置连成的列向量，A ⊗B表示矩阵A和B的Kronecker积。根据文献［16］的分析，对于对偶字典矩阵G和γ，满足IK×L=GHγ，代入式（11）可得

对于Gabor系数矩阵Z，其每一列 Z ［l］的非零点位置相同。用Λ表示Z的支撑集，则对于U的每一列，都存在相应地，列向量 vec（UT）满足在这里，可见，无论是Z的支撑集还是 vec（ZT）的支撑集，对应地，用于合成U或vec（UT）的映射矩阵C的子集本质上都是一样的。因此可得 vec（（ZΛ）T）= vec（（Z ）T）Λ，这使得使用联合贪婪算法和块稀疏算法探测到的子空间等价。

3.3 基于合成模型测量矩阵的分块ε-相干性

根据3.1节和3.2节关于Gabor字典、测量矩阵及信号分块稀疏表示的讨论，本节提出分块ε-相干性。

定义2对于0 ≤ ε＜ 1， M和γ分别为确定的测量矩阵和稀疏字典，分块ε-相干性定义为

定义3 对于0 ≤ ε＜ 1和分块字典γ，从支撑集Λ中选取并满足以下条件的集合称为分块ε-闭包，并用表示，

对于本文中构建的Gabor字典，其分块ε-闭包对应的是γ子块的指标集或系数矩阵Z的非零行的指标集。相应地，的补集可以定义为分块ε-独立支撑集。

4 基于合成模型的子空间探测

4.1 重构算法本小结结合冗余Gabor字典分块ε-相干性，探索了SOMP和信号分块稀疏表示相结合的采样系统子空间探测方法，并可以直接恢复出原始信号输入变量为：S， C， γ， U，这里U满足U = CZ +E， E为加性噪声。信号稀疏表示为x =γ vec（ZT）。支撑集Λ满足| Λ|≤ S。定义 Λ 为Λ

C的补集。算法如表1所示。

表1 SOMP和信号分块稀疏表示相结合的采样子空间探测算法

算法中，第p次迭代的第（2）步等价于

第（6）步更新残差的过程等价于

算法的第(7)步中，对于分块的字典 γΛ，其ε-闭包存在一个临界值 εc，当 ε ＜εc，存在则此步骤将不起作用，算法等价于SOMP。

4.2约束条件及算法分析

完成了算法描述，本节将分析算法重构的约束条件。对于 W =γHγ，抽取对角线上的元素分块相加，可构成对角矩阵规定首先提出引理1。

引理 1令 x =γ z， Λ为S阶块稀疏向量z的支撑集，为满足）的一个支撑集，Ψk=对于确定的k，满足如果对于一个k存在若干，选择其中任意一个代替k，构建x的一个稀疏表示为

可得

证明略。

引理1给出了分块ε-独立支撑集对应的稀疏表示产生的误差边界。选取的分块ε -闭包越大，允许的误差边界就越大。

引理2当 M γ=C⊗IL时，且满足γ的分块尺寸为L，则 θB（M，γ）= （1/L）θ（ C）。

证明将 M =（C ⊗IL）GH带入式（13）可得引理2。

引理 2中两种相干性相差L倍，这是因为将MMV联合稀疏问题转化为块稀疏问题时，由C经过变换获得的测量矩阵 C ⊗IL的子分块矩阵内部是正交的。在使用SOMP算法进行重构时，不需要考虑Z的列之间的关联性。为了保证算法的收敛，只要分别保证Z中每一列的重构收敛即可。

引理3在4.2节描述的算法和定理2中设定条件下，算法经S次迭代满足

证明略。

根据上面提出的 3个引理，可以提出定理2，

给出了算法收敛的约束条件和重构误差边界。

定理2令其中M为确定的测量矩阵，γ为分块尺寸为L的字典，Mγ的ε-相干为U =CZ是信号 x =γ z的测量值，其中Z的支撑集为Λ且| Λ |=S。令ε-独立支撑集则且 x~ =γ z~。如果满足

证明略。

说明：关于定理 2中的式（18），如果 γΛ是ε-线性独立的字典，则 Λ=Λ~，有

对于本文提出的算法，当 ε＜ εc，Λ是一个关于字典γ的分块ε-独立支撑集，此时算法相当于SOMP算法，重构约束条件为重构出来的 Gabor系数矩阵 Z =，则重构误差为根据定义，可知

推论1在定理2的设定下，取 ε = εc，本文算法的约束条件为

定理2的分析是在无噪声条件下，下面给出带噪声时的约束条件。

推论2定理2的条件下，令U = CZ+E，则为了保证算法收敛，需要满足

推论2定理证明参照文献［21］，不再详细证明。可见误差的存在对收敛条件提出了更加严格的要求，误差越大，允许重构的系数度越低。

4.3 通道数的影响

采样系统总的通道数为矩阵Y的测量点个数，其列数由测量矩阵C的行数决定，其值为M。本文可以通过降低M来减小通道数。根据文献［22］，为了保证算法收敛且取得较小误差，M的下界决定于Z的行数K和支撑集Λ尺寸。

一方面，在本文的采样系统中，字典冗余度越高，窗函数平滑阶数N越小，K越小，M的下界越低。根据文献［10］可知N越小，最终恢复的信号的误差也越大。另一方面，使用改进的子空间探测方法，使得支撑集Λ减小，从而M的下界也相应减小。但是ε的增大会一定程度上对误差产生影响，选取适当的ε可以减小误差，但是ε过大也会增大误差。所以，通道数M是针对最终信号重构误差所允许的值进行权衡得到的结果。对于误差要求越苛刻，需要的通道数就越多。但是根据后面的仿真实验，相比较文献［10］中系统对通道数的要求，本文方法在减小通道数方面还是取得了非常积极的改善。

5 实验仿真

本节通过数值仿真对前面分析进行验证。仿真实验对时间长度为 T= 20 ms 的多脉冲信号进行了采样和重构，脉冲从包含单脉宽度为W = 0.5 ms 的单周期的正弦脉冲、高斯脉冲和三阶B-样条脉冲构成的集合中随机选取，脉冲的位置随机设置。实验在 100次蒙特卡洛仿真后，通过计算相对误差

实验 1利用本文提出的 SOMPBε，F算法在分别在 ε= ε1， ε= ε2条件下进行子空间探测，对信号进行恢复，观察不同字典冗余度 μ= 1/N 条件下的信号重构成功率，并和传统的 SOMP算法、SCoSaMP算法、SIHT算法进行对比。其中，SIHT的迭代步长通过残差标准化的方法获得。这里，冗

余度度量值μ越小，字典冗余度越高。当 ε= εc时，

SOMPBε，F算法等同于SOMP算法。信号成功率定

义为，100次中重构相对误差满足≤ 0.05的次数。这里设置测量矩阵M的行数M= N，根据文献［10］中的分析，窗宽 Wg≥ 7W时，明显取得较好的重构效果，本文中取 Wg= 7W进行实验。仿真结果如图2。

图2 不同字典冗余度条件下算法重构成功率

算法重构成功率最高，在μ较大时，重构效果明显优于其他几种算法。随着μ的减小，字典γ冗余度提高，重构成功率都趋近于1.0，且差别越来越不明显。这是因为通道数M = N，随着通道数增加，测量值也越来越多，贪婪算法本身的重构效果越来越好。但是，在实际系统构建时，通道数越少越好，因此本实验更关心当M较小时改进算法对子空间探测的影响。当 ε= ε2时，由于字典γ为循环矩阵，选取的ε-独立支撑集对应的子空间原子的相干性降低，但支撑集也相应减小，导致信号采样中获得的信息量减小，重构成功率相比 ε= ε1条件下反而增大。在冗余度较低时，SCoSaMP重构成功率较低，随着冗余度提高，其重构成功率迅速提高，并最终趋近于 1.0，但整体上还是不如 SOMPBε，F算法。使用SIHT算法时，在不同冗余度条件下重构成功率都不超过0.3，在本采样系统中工程意义较差。

实验2本实验进一步降低通道M，观察通道数减小时改进算法在子空间探测中的效果。使用ε= ε1和 ε= ε2两种条件的 SOMPBε，F算法及传统的SOMP算法、SCoSaMP算法进行仿真，仿真过程中令从M = N降低到 M = 0.2N，其它实验条件同实验1。仿真结果如图3。

根据图3仿真结果，不同算法条件下，信号重构成功率都随通道数M与窗函数平滑阶数N的比值 M/N的减小而降低。N相同时，相比较SOMP算法和SCoSaMP算法，使用 SOMPBε，F算法能够在M /N更小的条件下依然保持很高的重构成功率。使用 SOMPBε，F算法进行信号重构，ε = ε2时重构效果比 ε= ε1时略差，原因同实验1。为达到90%以上的重构成功率，使用 SOMPBε，F算法最少仅需要M =24个通道，而使用SOMP算法和SCoSaMP算法都最少需要 M =65个通道。可见，使用改进的方法，可以大大降低采样通道数。

实验3为了验证改进方法对于鲁棒性的影响，本实验分别在采样系统每个通道加入信噪比（Signal to Noise Ratio， SNR）为15 dB的高斯白噪声，使用在 ε= ε1和 ε= ε2两种条件的 SOMPBε，F算法及传统的SOMP算法、SCoSaMP算法对信号进行重构，通过重构信号的信噪比来观察不同算法方法时的系统鲁棒性。本实验的其它条件同实验 1，实验结果如图4。

图3 不同 M /N条件下算法重构成功率

根据图4中的仿真结果，可以看出不同算法重构出来的信号SNR都随着N的增大而提高，而且对通道噪声具有大于 15 dB 的抑制作用。使用SOMPBε，F算法时，系统对于噪声抑制优于 SOMP和SCoSaMP算法时。但是N越大，改进方法的优势越来越小。这是因为算法经过S次迭代，SOMPBε，F算法选取的支撑集为ε-独立支撑集，其尺寸要小于SOMP和SCoSaMP算法最终选取的支撑集。在N较小时字典冗余度较低，ε-独立支撑集的相干性提高在噪声抑制中起主要作用；在N较大时字典冗余度较高，相比算法中字典冗余性对于噪声抑制的贡献，ε-独立支撑集相干性的提高又限制了冗余性的作用。同时也可以看出，由于 M =N，改进方法在通道数较小的条件下更有意义。

图4 不同算法重构信号的SNR

6 结论

当 Gabor框架高度冗余时，基于指数再生窗Gabor框架的采样系统使用面向系数域的重构方法进行信号子空间探测可能面临失败或存在误差较大，本文将合成模型引入基于MMV的子空间探测问题，取得了较好的效果。论文构建了对偶 Gabor字典，并对字典进行分块，完成信号的分块稀疏表示。将分块字典引入采样过程，计算了采样系统的测量矩阵。提出了受到字典相干性约束的测量矩阵分块ε-相干性概念，根据分块ε-相干性更新支撑集，在SOMP基础上得到 SOMPBε，F算法，分析和证明了算法收敛的约束条件。仿真实验证明，在信号子空间探测的过程中，本文提出的方法比传统面向系数域的重构方法具有更高的重构成功率；在相同的信号重构成功率条件下，可以大大降低采样通道的数量；当通道中引入高斯白噪声时，重构出来的信号具有更高的信噪比。本系统可应用于测试仪器、状态监测、雷达及通信领域等多种背景下的信号采样与重构。

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陈 鹏： 男，1987年生，博士生，研究方向为压缩感知、信号采集、自动测试.

孟 晨： 男，1963年生，教授，博士生导师，研究方向为状态监测、压缩感知、信号采集、自动测试.

王 成： 男，1980年生，讲师，研究方向为压缩感知、信号采集.

Subspace Detection of Sub-Nyquist Sampling System Based on Highly Redundant Gabor Frames

Chen Peng Meng Chen Wang Cheng
（Department of Missile Engineering， Mechanical Engineering College， Shijiazhuang 050003，China）

The sampling system based on Gabor frames with exponential reproducing windows holds nice performance for short pulses in general cases， but when the frames are highly redundant， the traditional coefficient oriented methods for subspace detection may fail or have large error. Firstly， the signal oriented idea is introduced and the blocked dual Gabor dictionaries are constructed， finishing the block sparse representation. By introducing the blocked dictionaries， the measurement matrix is constructed and the block ε-coherence restricted by the coherence of the dictionaries is proposed. Consequently， the synthesis model for signal representation is introduced to subspace detection based on Multiple Measurement Vector problem and the Simultaneous Orthogonal Matching Pursuit is proposed based on blocked ε-closure（S OMPBε，F）， using for subspace detection. Additionally， the convergence of the algorithm is proved. At last， simulation experiments prove that the new method improves the recovery rate， decreases the channel numbers and enforces the robustness of the sampling system compared with the traditional methods.

Signal processing； Gabor dictionaries； Coherence； Sub-Nyquist sampling； Subspace

The National Natural Science Foundation of China （61372039）

TN911.72

A

1009-5896（2015）12-2877-08

10.11999/JEIT150327

2015-03-20；改回日期：2015-08-24；网络出版：2015-11-01

*通信作者：陈鹏 beimingke@163.com

国家自然科学基金（61372039）